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par les nœuds de son équateur avec son orbite, entre ces deux derniers plans. Soit $\theta$ l’angle qu’il forme avec le plan de cet équateur. Nommons, de plus, $\varpi$ l’inclinaison de l’orbite du satellite à ce nouveau plan, et $\Gamma$ l’arc de cette orbite compris entre le nœud ascendant de la même orbite sur ce plan et son nœud ascendant sur l’orbite de Saturne, le premier de ces nœuds étant supposé moins avancé que le second, suivant l’ordre des signes. Enfin, soit $\Pi$ la distance du premier de ces nœuds au nœud ascendant de l’équateur de Saturne avec son orbite, supposé plus avancé que le premier en longitude. Cela posé, si l’on fait varier $\Pi$ de $\delta \varpi ,\ \Pi$ étant supposé constant, il en résultera pour $s$ une valeur égale à $\delta \varpi \sin(v+\Gamma ).$ Si, $\varpi$ étant supposé constant, on fait varier $\Pi$ de $\delta \Pi ,$ il en résultera pour $s$ une valeur égale à $\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma )\,;$ on aura donc, en faisant tout varier à la fois,

$s=\delta \varpi \sin(v+\Gamma )+\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma ).$

En égalant cette valeur à la précédente, on aura

(1)$\quad \delta \varpi \sin(v+\Gamma )+\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma )=$

${\rm {K}}v\sin \lambda \cos \lambda \cos v-{\rm {K}}'v\sin \gamma \cos \gamma \cos(v-\Psi )\,;$

si l’on ne porte l’approximation que jusqu’à la première puissance de $v,$ on a

$\delta \varpi =v{\frac {d\varpi }{dv}},\qquad \delta \Pi =v{\frac {d\Pi }{dv}}\,;$

en substituant, dans le second membre de l’équation (1), $\cos(v-\Gamma +\Gamma )$ au lieu de $\cos v$ et $\cos(v-\Gamma -\Psi +\Gamma )$ au lieu de $\cos(v-\Psi ),$ et développant par rapport aux sinus et cosinus de $v+\Gamma ,$ la comparaison de leurs coefficients avec ceux du premier membre donnera les deux équations

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{dv}}=&{\rm {K}}\sin \lambda \cos \lambda \sin \Gamma -{\rm {K}}'\sin \gamma \cos \gamma \sin(\Psi +\Gamma ),\\{\frac {d\Pi }{dv}}\sin \varpi =&{\rm {K}}\sin \lambda \cos \lambda \cos \Gamma -{\rm {K}}'\sin \gamma \cos \gamma \cos(\Psi +\Gamma ).\end{aligned}}\right.$

Si l’on nomme ${\rm {A}}$ l’inclinaison de l’équateur de Saturne à son orbite,