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$v'$ étant la distance angulaire du satellite m’au nœud descendant de l’orbite primitive sur le plan de l’anneau. Si dans $a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}$ on change $r$ et $r'$ en $a$ et $a',$ si l’on rejette les termes qui ne dépendent point du sinus ou du cosinus de $v$ et ceux qui sont multipliés par $s$, on aura

$a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}=-{\frac {m'a^{2}a'\sin \gamma \sin v'}{\left[a^{2}+a'^{2}-2aa'\cos(v-\Psi )\cos v'-2aa'\cos \gamma \sin(v-\Psi )\sin v'\right]^{\frac {3}{2}}}}.$

Supposons $a'$ peu considérable par rapport à $a,$ comme cela a lieu relativement aux satellites intérieurs et aux divers points des anneaux ; on aura, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {a'^{4}}{a^{4}}},$

$a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}=-{\frac {3m'a^{3}a'^{2}}{2\left(a^{2}+a'^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\Psi ).$

En considérant donc les anneaux comme la réunion d’une infinité de satellites, on aura, en vertu de leur action et de celle des satellites intérieurs à l’orbite du dernier satellite,

$a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}=-{\rm {B}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\Psi ),$

${\rm {B}}$ étant ici un coefficient constant dépendant de la masse et de la constitution des anneaux et des satellites intérieurs. Soit

${\rm {K}}={\frac {3{\rm {S}}a^{3}}{4{\rm {D^{3}}}}},\qquad {\rm {K}}'={\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{3}}}+{\frac {1}{2}}{\rm {B\,;}}$

l’équation différentielle en $s$ deviendra

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+2{\rm {K}}\sin \lambda \cos \lambda \sin v-2{\rm {K}}'\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\Psi ),$

d’où l’on tire, en intégrant et négligeant les constantes arbitraires, comme on le peut ici,

$s={\rm {K}}v\sin \lambda \cos \lambda \sin v-{\rm {K}}'v\sin \gamma \cos \gamma \cos(v-\Psi ).$

Concevons maintenant, par le centre de Saturne, un plan passant