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relative est égale à

$\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\left(v^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {\rm {MB^{2}}}{r^{3}}},$

${\rm {M}}$ étant la masse de Saturne et ${\rm {B}}$ son rayon moyen : nous prendrons l’un et l’autre pour unité. Si l’on nomme $\gamma$ l’inclinaison de l’orbite primitive sur le plan de l’anneau et $\Psi$ la distance de son nœud descendant sur ce plan à son nœud ascendant sur l’orbite de Saturne, le premier de ces nœuds étant supposé plus avancé que le second suivant l’ordre des signes, $v-\Psi$ sera la distance du satellite au nœud descendant de son orbite avec l’anneau, et l’on trouve facilement que, si l’on néglige le carré de $s,$ on aura

$v^{2}=\sin ^{2}\gamma \sin ^{2}(v-\Psi )-2s\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\Psi ),$

ce qui donne

$a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}=-{\frac {2\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{a^{2}}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\Psi ).$

Il nous reste à considérer l’action des anneaux et des six premiers satellites. Si l’on considère un satellite intérieur dont le rayon soit $r'$ et dont $m'$ soit la masse, son orbite étant supposée dans le plan de l’anneau ou de l’équateur de Saturne, on aura, par le n^o 1, relativement à ce satellite,

${\rm {R}}={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}-{\frac {m'}{\left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.$

Prenons ici pour axe des $x$ l’intersection du plan de l’orbite primitive avec celui de l’équateur de Saturne, ou de l’anneau ; nous aurons

${\begin{aligned}x\,\ =&r\cos(v-\Psi ),\\y\,\ =&r\sin(v-\Psi ),\\z\,\ =&rs,\\x'=&r'\cos v',\\y'=&r'\cos \gamma \sin v',\\z'=&r'\sin \gamma \sin v',\end{aligned}}$