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Si l’on néglige l’ellipticité de l’orbite, on a $h^{2}=a$ et $r=a.$ De plus, si l’on prend pour plan fixe celui de l’orbite primitive du satellite, $s$ est de l’ordre des forces perturbatrices ; en négligeant donc le carré de ces forces, on pourra négliger les produits de $s$ et de ${\frac {ds}{dv}}$ par ces forces. L’équation précédente devient ainsi

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}.$

Supposons que cette équation se rapporte au dernier satellite de Saturne, et déterminons la valeur de ${\rm {R}}$ qui lui est relative. On a par le n^o 1, en vertu de l’action seule du Soleil,

${\rm {R=-{\frac {S}{D}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {{\rm {S}}r^{2}}{\rm {D^{3}}}}-{\frac {3}{2}}{\frac {{\rm {S}}(x{\rm {X}}+y{\rm {Y}}+z{\rm {Z}})^{2}}{\rm {D^{5}}}}.$

Prenons pour axe des $x$ la ligne menée du centre de Saturne au nœud ascendant de l’orbite primitive du satellite sur l’orbite de Saturne. Soit $\lambda$ l’inclinaison mutuelle de ces deux orbites. En nommant ${\rm {X'}}$ et ${\rm {Y'}}$ les coordonnées du Soleil, rapportées à l’orbite de Saturne, on aura

${\begin{aligned}&{\rm {X=\ \ X',}}\\&{\rm {Y=\ \ Y'\cos \lambda ,}}\\&{\rm {Z=-Y'\sin \lambda \,;}}\end{aligned}}$

mais on a

${\begin{aligned}&{\rm {X'=D\cos U,}}\\&{\rm {Y'=D\sin U,}}\end{aligned}}$

$x=a\cos v,\qquad y=a\sin v,\qquad z=as\,;$

on aura donc, en ne conservant dans $a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}$ que les termes multipliés par le sinus et le cosinus de $v,$ les seuls dont dépend le mouvement séculaire de l’orbite,

$a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}={\frac {3{\rm {S}}a^{3}}{2{\rm {D^{3}}}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin v.$

Pour déterminer la partie de $a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}$ qui dépend de la non-sphéricité de Saturne, nous observerons que, par le n^o 1, la partie de ${\rm {R}}$ qui lui est