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En réunissant tous ces termes, on aura, dans les éclipses, où l’on peut supposer $2{\rm {U}}=2v,$

${\begin{alignedat}{4}s=&&3^{\circ }{,}43267&.\sin(v+&51^{\circ }{,}3787&-t.&153''&{,}8\ \ )\\-&&105''{,}04&.\sin(v+&303^{\circ }{,}76542&+t.&133715''&{,}77)\\-&&25''{,}49&.\sin(v+&208^{\circ }{,}32562&+t.&28220''&{,}85).\end{alignedat}}$

Pour avoir la durée des éclipses du premier satellite, nous reprendrons la formule du n^o 26,

$t={\rm {T(1-X)}}$

$\times \left\{-(1+\rho ')^{2}{\frac {s}{\text{ϐ}}}{\frac {ds}{dv}}\pm {\sqrt {\left[1+{\frac {1}{2}}{\rm {X}}+(1+\rho '){\frac {s}{\text{ϐ}}}\right]\left[1+{\frac {1}{2}}{\rm {X}}-(1+\rho '){\frac {s}{\text{ϐ}}}\right]}}\right\}.$

Dans cette formule, ${\rm {T}}$ est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds. Delambre a trouvé cette demi-durée, depuis l’invention des lunettes achromatiques, égale à $4713$ secondes. Nous supposerons donc à ${\rm {T}}$ cette valeur, ϐ est le moyen mouvement synodique du satellite pendant le temps ${\rm {T}}$, et l’on trouve ${\text{ϐ}}=106516''.$ La valeur de $p'$ est ici $0{,}0716667.$ La valeur de ${\rm {X}}$ est, par le n^o 26, à très-peu près égale à $frac{dv}{ndt}-1,$ et, par conséquent, en ne considérant que le plus grand terme de $v$ on a, à fort peu près,

${\rm {X=0{,}0079334.\cos 2(\theta -\theta ').}}$

Nommons $\zeta$ la valeur de $(1+\rho ')^{2}{\frac {s}{\text{ϐ}}}\,;$ nous aurons

${\begin{alignedat}{4}\zeta =&&0{,}345364.\sin(v+&&51^{\circ }{,}3787\ \ &-t.&153''{,}8\ \ )\\-&&0{,}001057.\sin(v+&&303^{\circ }{,}76542&+t.&133715''{,}77)\\-&&0{,}000256.\sin(v+&&208^{\circ }{,}32562&+t.&28220''{,}85).\end{alignedat}}$

Cela posé, on aura

$t=-788''{,}55.\zeta {\frac {d\zeta }{dv}}\pm 4713''.{\rm {(1-X){\sqrt {1+X-\zeta ^{2}}},}}$

et la durée entière de l’éclipse sera

$9426''.{\rm {(1-X){\sqrt {1+X-\zeta ^{2}}}.}}$