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Si l’on substitue pour $m,m',m''$ leurs valeurs précédentes, on aura

$k=0{,}000000607302.$

Nous avons observé, dans le n^o 15, que, si le théorème sur les moyens mouvements des trois premiers satellites n’était pas rigoureusement exact, les observations s’en écarteraient de $100$ degrés dans un temps plus petit que ${\frac {100^{\circ }}{n{\sqrt {2k}}}}.$ Soit ${\rm {T}}$ la durée de la révolution sidérale du premier satellite ; on aura $n{\rm {T=400^{\circ }\,;}}$ le temps précédent devient ainsi ${\frac {\rm {T}}{4{\sqrt {2k}}}}.$ En substituant pour ${\rm {T}}$ sa valeur donnée dans le n^o 20, il devient $401^{\rm {j}}{,}314\,;$ par conséquent, il est au-dessous de deux années, comme nous l’avons annoncé dans le n^o 15.

Les expressions de $v,v'$ et $v'',$ dépendantes de la libration, et que nous avons trouvées dans le n^o 15, deviennent, en y substituant pour $m,m'$ et $m''$ leurs valeurs précédentes,

${\begin{aligned}v\ \ =&\quad {\rm {P}}\sin \left(nt{\sqrt {k}}+{\rm {A}}\right),\\v'\,=&-{\rm {P}}.0{,}889912.\sin \left(nt{\sqrt {k}}+{\rm {A}}\right),\\v''=&\quad {\rm {P}}.0{,}062115.\sin \left(nt{\sqrt {k}}+{\rm {A}}\right),\end{aligned}}$

${\rm {P}}$ et ${\rm {A}}$ étant deux arbitraires que les observations doivent déterminer. La durée de la période de cette inégalité est ${\frac {400^{\circ }}{n{\sqrt {k}}}}$ ou ${\frac {\rm {T}}{\sqrt {k}}}\,;$ cette durée est donc de $2270^{\rm {j}}{,}18,$ c’est-à-dire d’un peu plus de six ans.

Après avoir considéré l’ensemble du système des satellites, nous allons développer la théorie particulière de chacun d’eux, en commençant par le quatrième.