Ces équations donnent une équation finale en d’un degré fort élevé. À chacune des valeurs de répond un système des constantes et dans lequel trois de ces constantes sont données au moyen de la quatrième, qui reste arbitraire. Ainsi, la nature du problème ne demandant que quatre arbitraires, l’équation en n’a que quatre racines utiles. La grande influence de l’aplatissement de Jupiter sur les mouvements des apsides des satellites rend les valeurs de peu différentes de celles qui auraient lieu par l’effet seul de cet aplatissement : on aura ainsi une première approximation de ces valeurs en égalant à zéro les termes des équations précédentes dans lesquels se trouve l’inconnue Cette considération facilite extrêmement la détermination des valeurs de que l’on peut obtenir par une approximation prompte, de la manière suivante.
On observera d’abord que la première valeur de dans l’ordre des grandeurs, est peu différente de on supposera donc dans les équations (2), (3) et (4), et, après les avoir divisées par , on en tirera les valeurs de On substituera ensuite ces valeurs dans l’équation (1), et l’on mettra, pour dans le diviseur On aura ainsi une valeur de plus exacte que la valeur supposée. On fera de cette nouvelle valeur le même usage que de la première, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on trouve deux valeurs consécutives de qui soient à très-peu près les mêmes. Un petit nombre d’essais suffira pour cet objet, et alors on sera certain que les équations (1), (2), (3) et (4) seront satisfaites, ce que l’on vérifiera d’ailleurs en y substituant, pour leurs valeurs. On trouve ainsi
Les valeurs de relatives à cette valeur de étant plus petites
