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d’où l’on tire

$s={\frac {{\text{ϐ}}{\sqrt {4{\rm {T^{2}(1-X)}}-t'^{2}}}}{\rm {2T(1+\rho ')(1-X)}}},$

Cette équation servira à déterminer les constantes arbitraires que renferme l’expression de $s,$ en choisissant les observations des éclipses dans lesquelles ces constantes ont eu le plus d’influence.

La durée des éclipses étant un des points les plus importants de leur théorie, nous allons examiner particulièrement les formules précédentes. La demi-largeur $\alpha$ de l’ombre varie avec les distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil. En nommant ${\rm {D'-\delta D}}$ la distance de Jupiter au Soleil, ${\rm {D'}}$ étant sa moyenne distance, et faisant, comme ci-dessus, $r=a\left(1-{\frac {1}{2}}{\rm {X}}\right),$ la variation de $\alpha$ sera

$(1+\rho ){\rm {R'\left({\frac {1}{2}}X-{\frac {\delta D}{D'}}\right)}}{\frac {(1-\lambda )a}{\lambda {\rm {D'}}}}.$

${\frac {1}{2}}\mathrm {X}$ est toujours fort petit par rapport à ${\frac {\delta D}{D'}},$ et cette dernière quantité est $\mathrm {H} \cos(\mathrm {M} t+{\rm {E-I)\,;}}$ ainsi la variation de $\alpha$ est, à fort peu près,

$-\alpha {\frac {1-\lambda }{\lambda }}{\frac {a}{\mathrm {D} }}'\mathrm {H} \cos(\mathrm {M} t+{\rm {E-I),}}$

d’où il suit que, dans les formules précédentes, il faut substituer au lieu de ${\frac {\alpha }{\text{ϐ}}}$ la fonction

${\frac {\alpha }{\text{ϐ}}}\left[1-{\frac {1-\lambda }{\lambda }}{\frac {a}{\mathrm {D} }}'\mathrm {H} \cos(\mathrm {M} t+{\rm {E-I)}}\right],$

ϐ, dans cette fonction, étant relatif aux moyens mouvements et aux moyennes distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil.

$\mathrm {T}$ exprimant le temps que le satellite emploie à traverser la demi largeur $\alpha$ de l’ombre, ce temps diminue, par la variation de $\alpha ,$ de la quantité

$\mathrm {T} {\frac {1-\lambda }{\lambda }}{\frac {a}{\mathrm {D} }}'\mathrm {H} \cos(\mathrm {M} t+{\rm {E-I)\,;}}$

mais il augmente, parce que le mouvement synodique est à fort peu