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Nommons présentement ${\rm {Z}}$ la hauteur d’un satellite au-dessus de l’orbite de Jupiter au moment de sa conjonction, $r$ sa distance au centre de Jupiter, et $v_{1}$ l’angle décrit par le satellite sur l’orbite de la planète, depuis l’instant de la conjonction, en vertu de son mouvement synodique. Prenons ensuite pour axe des $x$ la projection du rayon vecteur du satellite sur l’orbite de Jupiter au moment de la conjonction, ou, ce qui revient au même, le prolongement du rayon de l’orbite de Jupiter à cet instant ; on aura

$y^{2}=\left(r^{2}-z^{2}\right)\sin ^{2}v_{1}.$

L’équation de la section de la surface de l’ombre devient ainsi

$\left(r^{2}-z^{2}\right)\sin ^{2}v_{1}=\alpha ^{2}-(1+\rho ')^{2}z^{2}.$

Nous négligerons les quantités de l’ordre $z^{4}$ et $z^{2}\sin ^{2}v_{1},$ ce qui réduit l’équation précédente à celle-ci,

$r^{2}\sin ^{2}v_{1}=\alpha ^{2}-(1+\rho ')^{2}z^{2}\,;$

or, on a

$z={\rm {Z}}+\sin v_{1}{\frac {d{\rm {Z}}}{dv_{1}}}+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}v_{1}{\frac {d^{2}{\rm {Z}}}{dv_{1}^{2}}}+\ldots .$

On aura donc, à très-peu près,

$r^{2}\sin ^{2}v_{1}=\alpha ^{2}-(1+\rho ')^{2}{\rm {Z}}^{2}-2(1+\rho ')^{2}\sin v_{1}{\rm {Z}}{\frac {d{\rm {Z}}}{dv_{1}}},$

d’où l’on tire

$\sin v_{1}=-{\frac {(1+\rho ')^{2}{\rm {Z}}{\frac {d{\rm {Z}}}{dv_{1}}}}{r^{2}}}\pm {\sqrt {\left[{\frac {\alpha }{r}}+(1+\rho '){\frac {\rm {Z}}{r}}\right]\left[{\frac {\alpha }{r}}-(1+\rho '){\frac {\rm {Z}}{r}}\right]}}.$

$s$ étant supposé exprimer la tangente de la latitude du satellite au-dessus de l’orbite de Jupiter, au moment de sa conjonction, on a à fort peu près ${\rm {Z}}=rs,\ r$ étant à très-peu près constant ; l’équation précédente devient ainsi

$\sin v_{1}=-(1+\rho ')^{2}{\frac {sds}{dv_{1}}}\pm {\sqrt {\left[{\frac {\alpha }{r}}+(1+\rho ')s\right]\left[{\frac {\alpha }{r}}-(1+\rho ')s\right]}}.$

Cette formule, prise en donnant le signe $+$ au radical, exprime le sinus