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On a d’abord, en négligeant $\rho ,$

${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}={\rm {R}}\lambda \left[1-{\frac {r(1-\lambda )}{\rm {D\lambda }}}\right]\,;$

substituant cette valeur, dans le terme affecté de $\rho ,$ on aura

$(1+\rho )^{2}{\rm {R}}'^{2}\left[1-{\frac {r(1-\lambda )}{\lambda {\rm {D}}}}\right]^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {2\rho z^{2}\left(1+{\frac {r}{\rm {D}}}\right)}{1-{\frac {r(1-\lambda )}{\lambda {\rm {D}}}}}}.$

Cette équation est celle d’une ellipse dont l’ellipticité est, ${\frac {\rho \left(1+{\frac {r}{\rm {D}}}\right)}{1-{\frac {r(1-\lambda )}{\lambda {\rm {D}}}}}}.$

La quantité ${\frac {r}{\rm {D\lambda }}}$ étant peu considérable, même relativement au quatrième satellite, on voit que cette ellipse est à peu près semblable à l’ellipse génératrice de Jupiter. Son demi-grand axe est

$(1+\rho ){\rm {R}}'\left[1-{\frac {r(1-\lambda )}{\lambda {\rm {D}}}}\right],$

où l’on doit observer que $(1+\rho ){\rm {R}}'$ est le demi-diamètre de l’équateur de Jupiter. Soit à ce demi-grand axe, et faisons

${\frac {\rho \left(1+{\frac {r}{\rm {D}}}\right)}{1-{\frac {r(1-\lambda )}{\lambda {\rm {D}}}}}}=\rho '\,;$

nous aurons, pour l’équation de la section de l’ombre de Jupiter,

$\alpha ^{2}-y^{2}=(1+\rho ')^{2}z^{2},$

et $2\alpha$ sera la plus grande largeur de cette section.

En faisant $\lambda$ négatif dans les valeurs de $\alpha$ et de $\rho ',$ l’équation précédente deviendra celle de la section de la pénombre ; d’où il suit que, la plus grande largeur de la pénombre, à la distance $r$ du centre de Jupiter, étant égale à la différence des deux valeurs de $\alpha$ relatives à l’ombre et à la pénombre, elle sera ${\frac {2r}{\lambda {\rm {D}}}}(1+\rho ){\rm {R'}}$ ou ${\frac {2r{\rm {R}}}{\rm {D}}},\ {\rm {R}}$ étant le demi-diamètre du Soleil.