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${\frac {fy}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}$ étant la valeur de $a$ dans l’hypothèse sphérique, on a

$\left(1-{\frac {\lambda \rho }{1-\lambda }}\right){\sqrt {f^{2}-a^{2}}}={\frac {fz}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {q\rho y}{z}}-{\frac {\lambda f\rho z}{(1-\lambda ){\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}}.$

L’équation du plan devient ainsi

$x=f{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}-{\frac {\lambda f\rho z^{2}}{(1-\lambda ){\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}}+{\frac {\rm {D}}{1-\lambda }}-{\frac {\lambda \rho {\rm {R^{2}}}}{\rm {D}}}{\frac {f^{2}z^{2}}{y^{2}+z^{2}}},$

d’où l’on tire

$\left(x-{\frac {\rm {D}}{1-\lambda }}\right)^{2}=f^{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)-{\frac {2f^{2}\lambda \rho z^{2}}{1-\lambda }}-{\frac {2f^{3}\lambda \rho {\rm {R}}^{2}z^{2}}{{\rm {D}}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}}.$

$f$ est égal à ${\rm {-{\sqrt {{\frac {D^{2}}{R^{2}(1-\lambda )^{2}}}-1}},}}$ le radical devant avoir le signe $-,$ parce que $x$ est moindre que ${\frac {\rm {D}}{1-\lambda }}.$ On a ainsi, à très-peu près,

$f={\rm {{\frac {-D}{R(1-\lambda )}},}}$

${\rm {D}}$ étant considérablement plus grand que ${\rm {R}}$ ; on aura donc

${\rm {\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{D^{2}}}}\left({\frac {\rm {D}}{1-\lambda }}-x\right)^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {2\lambda }{1-\lambda }}\rho z^{2}\left({\frac {\rm {R}}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}-1\right)\,;$

c’est l’équation de la figure de l’ombre de Jupiter. On trouvera, par la même analyse, que l’équation de la pénombre est

${\rm {\frac {R^{2}(1+\lambda )^{2}}{D^{2}}}}\left(x-{\frac {\rm {D}}{1+\lambda }}\right)^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {2\lambda }{1+\lambda }}\rho z^{2}\left({\frac {\rm {R}}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}+1\right).$

Considérons une section de l’ombre de Jupiter par un plan perpendiculaire à l’axe, à la distance $r$ du centre de la planète. On aura, dans ce cas, $x={\rm {D}}+r,$ partant

${\rm {\frac {R^{2}}{D^{2}}}}\left[{\rm {D}}\lambda -r(1-\lambda )\right]^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {2\lambda }{1-\lambda }}\rho z^{2}\left({\frac {\rm {R}}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}-1\right).$