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premier membre de cette équation, on aura, par ce qui précède,

${\rm {Y'}}+a({\rm {X'-D)=0,}}$

$(1+\rho )^{2}{\rm {Z}}'+b({\rm {X'-D)=0,}}$

${\rm {X'-D}}=a{\rm {Y}}'+b{\rm {Z}}'+c-{\rm {D,}}$

d’où l’on tire

$c-{\rm {D}}=(1+\rho ){\rm {R}}'{\sqrt {1+a^{2}+{\frac {b^{2}}{(1+\rho )^{2}}}}}=R{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}-{\rm {D.}}$

Soient

${\frac {(1+\rho ){\rm {R'}}}{\rm {R}}}=\lambda ,$

$f^{2}={\rm {{\frac {D^{2}}{R^{2}(1-\lambda )^{2}}}-1\,;}}$

on aura, en négligeant le carré de $\rho ,$

${\begin{aligned}b=&\left(1-{\frac {\lambda \rho }{1-\lambda }}\right){\sqrt {f^{2}-a^{2}}},\\c=&{\frac {\rm {D}}{1-\lambda }}-\lambda \rho {\frac {\rm {R^{2}}}{\rm {D}}}\left(f^{2}-a^{2}\right),\end{aligned}}$

ce qui donne, pour l’équation du plan.

$x=ay+\left(1-{\frac {\lambda \rho }{1-\lambda }}\right)z{\sqrt {f^{2}-a^{2}}}+{\frac {\rm {D}}{1-\lambda }}-{\frac {\lambda \rho {\rm {R^{2}}}}{\rm {D}}}\left(f^{2}-a^{2}\right).$

En la différentiant par rapport à $a$ seul, on a

$0=y-az{\frac {1-{\frac {\lambda \rho }{1-\lambda }}}{\sqrt {f^{2}-a^{2}}}}+{\frac {2\lambda \rho {\rm {R}}^{2}a}{\rm {D}}}.$

Éliminant $a$ au moyen de ces équations, on aura l’équation de la surface de l’ombre. Mais on peut simplifier le calcul en observant que, si l’on suppose

$a={\frac {fy}{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}+q\rho ,$