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touchent les surfaces du corps lumineux et du corps opaque, avec la seule différence que, dans le cas de l’ombre, on doit considérer les intersections des plans qui touchent ces surfaces du même côté, au lieu que, dans le cas de la pénombre, il faut considérer les intersections des plans qui touchent ces surfaces des côtés opposés. Appliquons cette solution à l’ombre de Jupiter.

Supposons d’abord Jupiter et le Soleil sphériques. Soit ${\rm {R}}$ le demi diamètre du Soleil, ${\rm {R'}}$ celui de Jupiter. Soit ${\rm {D}}$ la distance des centres de ces deux corps, et fixons au centre du Soleil l’origine des coordonnées. L’équation de la surface du Soleil sera

${\rm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-R^{2}=0,}}$

en sorte qu’ici $\mu {\rm {=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-R^{2}\,;}}$ on aura donc, par ce qui précède, les quatre équations

${\rm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-R^{2}=0,}}$

${\rm {Y}}+a{\rm {X=0,}}$

${\rm {Z}}+b{\rm {X=0,}}$

${\rm {X}}=a{\rm {Y}}+b{\rm {Z}}+c.$

Les trois premières équations donnent

${\rm {X}}^{2}\left(1+a^{2}+b^{2}\right)={\rm {R^{2}.}}$

Les trois dernières donnent

${\rm {X}}\left(1+a^{2}+b^{2}\right)=c,$

d’où l’on tire

$c^{2}={\rm {R}}^{2}\left(1+a^{2}+b^{2}\right).$

L’équation de la surface de Jupiter est

${\rm {(X'-D)^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}-R'^{2}=0,}}$

en sorte qu’ici $\mu '={\rm {(X'-D)^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}-R'^{2}\,;}}$ on aura donc, par ce