et 
on a donc
En combinant ces équations avec celles-ci,
étant fonction de 
, on aura, en éliminant , une équation finale en 
Soit ensuite 
l’équation à la surface du corps opaque, et nommons 
}les coordonnées correspondantes aux points où elle est touchée par le plan. 
étant considéré comme fonction de ces coordonnées, cette équation fournira de la même manière les quatre suivantes :
d’où l’on tirera une seconde équation en Au moyen de cette équation et de la première, on aura 
et 
en fonction de 
. Substituant ces fonctions dans les deux équations
on aura deux équations entre 
et 
éliminant 
on aura, entre une équation finale, qui sera celle de la surface de l’ombre. Telle est donc la solution générale du problème de la détermination de l’ombre du corps opaque, solution qui donne également l’équation à la surface de la pénombre ; car il est clair que cette surface est formée, comme celle de l’ombre, par les intersections successives des plans qui
