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Lorsque $\mu$ et les masses $m,m',m''$ et $m'''$ seront connues, on aura, au moyen des quatre équations entre les indéterminées $\lambda ,\lambda ',\lambda ''$ et $\lambda ''',$ les valeurs de chacune de ces indéterminées. Les quatre dernières équations donneront, en éliminant, une équation en $p$ du quatrième degré, et l’on en tirera, par les formules du n^o 10, la latitude des satellites au-dessus de l’orbite de Jupiter.

On a vu, dans le n^o 10, que la partie de la latitude $s$ qui dépend de l’inclinaison $\theta '$ de l’équateur de Jupiter à son orbite est

$(\lambda -1)\theta '\sin(v+\Psi ').$

Si l’on prend pour plan fixe l’orbite de Jupiter en 1750, et pour origine de $v$ et $\Psi '$ l’équinoxe du printemps de Jupiter à cette époque, on a, par le même numéro,

${\begin{aligned}\theta '=&\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}+bt,\\\Psi '=&\sideset {^{1}}{}pt-{\frac {at}{\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}}}.\end{aligned}}$

On déterminera $a$ et $b$ au moyen des équations suivantes, qui résultent des formules différentielles du n^o 59 du Livre II,

${\begin{aligned}a=&\quad {\rm {(4{,}5).I\cos \Pi +(4{,}6).I'\cos \Pi ',}}\\b=&-{\rm {(4{,}5).I\sin \Pi -(4{,}6).I'\sin \Pi ',}}\end{aligned}}$

les valeurs de $(4{,}5)$ et de $(4{,}6)$ étant celles du n^o 24 du Livre VI. On doit observer de diminuer, dans la première de ces valeurs, la masse de Saturne dans le rapport de $3359{,}4$ à $3515{,}6,$ comme on le verra dans la suite. ${\rm {I}}$ est ici l’inclinaison de l’orbite de Saturne sur celle de Jupiter en 1750. Il est, à la même époque, la longitude de son nœud ascendant sur cette orbite, et comptée de l’équinoxe du printemps de Jupiter, ${\rm {I'}}$ et $\Pi '$ sont les mêmes quantités relativement à Uranus. Les observations donnent, à fort peu près,

$\sideset {^{1}}{}{\rm {L=3^{\circ }{,}1444,}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {a}{\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}}}=&9''{,}0529,\\b=0''{,}070350.\end{aligned}}$