Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/124

correspondante de la double intégrale $\iint 3andt\operatorname {d} {\rm {R,}}$ qui entre dans l’expression de $v,$ acquerrait par les intégrations un diviseur de l’ordre du carré de la force perturbatrice, ce qui le rendrait sensible et du même ordre que les quantités déterminées dans le n^o 13 ; il importe donc d’avoir les termes de ce genre ou de s’assurer qu’il n’en existe point.

J’observe d’abord que ${\rm {H^{2}}}$ dans ${\rm {R}}$, ne peut pas être multiplié par le sinus ou cosinus de ${\rm {2I,\ I}}$ étant la longitude du périhélie de Jupiter, parce que la valeur de ${\rm {R}}$ est indépendante du point arbitraire où l’on fixe l’origine des longitudes. La partie non périodique de ${\rm {R}}$, due au carré de la force perturbatrice, et multipliée par ${\rm {H^{2},}}$ ne peut être que le résultat de la combinaison de deux angles qui se détruisent mutuellement sous le signe cosinus ; car ${\rm {R}}$ ne renferme évidemment que des cosinus. Donnons à ${\rm {H^{2}}}$ cette forme.

${\rm {H}}^{2}\cos \left[{\begin{aligned}&i(nt-{\rm {M}}t+\varepsilon -{\rm {E}})+2({\rm {M}}t+{\rm {E-I)}}\\-&i(nt-{\rm {M}}t+\varepsilon -{\rm {E}})-2({\rm {M}}t+{\rm {E-I)}}\\\end{aligned}}\right].$

Une partie de l’angle compris sous le signe cosinus peut appartenir aux coordonnées de $m,$ et cette partie est la seule que l’on doit faire varier dans ${\rm {R}}$ pour obtenir $\operatorname {d} {\rm {R}}$ ; or, quelle que soit cette partie, il est clair que la différentielle du terme précédent est nulle ; $\operatorname {d} {\rm {R}}$ ne renferme donc aucun terme de la forme ${\rm {QH}}^{2}dt,$ dépendant du carré de la force perturbatrice. Il est visible que le même raisonnement s’applique aux termes dépendants du déplacement de l’équateur et de l’orbite de Jupiter. Ainsi le carré de la force perturbatrice n’introduit aucune quantité sensible dans l’équation séculaire des satellites de Jupiter et dans celle de la Lune.