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$c$ étant moindre que $2kn^{2}\,;$ il suffit donc, pour l’exactitude des théorèmes précédents, qu’à l’origine la fonction ${\frac {dv}{ndt}}-{\frac {3dv'}{ndt}}+{\frac {2dv''}{ndt}}$ ait été comprise entre les limites

${\begin{aligned}&+2{\sqrt {k}}\sin({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{2}}\varepsilon '+\varepsilon ''),\\&-2{\sqrt {k}}\sin({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{2}}\varepsilon '+\varepsilon '')\,;\end{aligned}}$

et, pour la stabilité de ces théorèmes, il suffit que les attractions étrangères laissent toujours la fonction précédente dans ces limites.

Les observations nous apprennent que l’angle $\pi$ est très-petit, et qu’ainsi l’on peut supposer $\cos \varpi =1-{\frac {1}{2}}\varpi ^{2}\,;$ soit donc

${\frac {c+2kn^{2}}{n^{2}k}}={\text{ϐ}}^{2},$

ϐ étant une arbitraire, à cause de l’arbitraire $c$ qu’il renferme ; l’équation différentielle entre $\varpi$ et $t$ donnera

$\varpi ={\text{ϐ}}\sin \left(nt{\sqrt {k}}+{\rm {A}}\right),$

${\rm {A}}$ étant une nouvelle arbitraire.

Le mouvement des quatre satellites de Jupiter étant déterminé par douze équations différentielles du second ordre, leur théorie doit renfermer vingt-quatre constantes arbitraires : quatre de ces constantes sont relatives aux moyens mouvements des satellites, ou, ce qui revient au même, à leurs moyennes distances ; quatre sont relatives aux époques des longitudes moyennes ; huit dépendent des excentricités et des aphélies, et huit autres dépendent des inclinaisons et des nœuds des orbites. Les théorèmes précédents établissent deux relations entre les moyens mouvements et les époques des longitudes moyennes des trois premiers satellites, ce qui réduit à vingt-deux ces vingt-quatre arbitraires. C’est pour y suppléer que l’expression de $\varpi$ renferme les deux nouvelles arbitraires ϐ et ${\rm {A.}}$

Si l’on reprend la valeur précédente de ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}},$ en y substituant $\pi +{\text{ϐ}}\sin \left(nt{\sqrt {k}}+{\rm {A}}\right)$ au lieu de $v-3v'+2v'',$ on aura

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {3n^{3}m'm''{\rm {F'G}}}{8(n-n'-{\rm {N')}}}}{\frac {a}{a'}}{\text{ϐ}}\sin \left(nt{\sqrt {k}}+{\rm {A}}\right),$