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Dans les éclipses simultanées du premier et du troisième, $nt+\varepsilon$ et $n''t+\varepsilon ''$ sont égaux à $\pi ,$ ce qui donne

$3n't+3\varepsilon '=2\pi \,;$

ainsi la longitude moyenne synodique du second satellite est alors ${\frac {2}{3}}\pi .$ Enfin, dans les éclipses simultanées du second et du troisième satellite, $n't+\varepsilon '$ et $n''t+\varepsilon ''$ sont égaux à $\pi ,$ ce qui donne

$nt+\varepsilon =2\pi .$

La longitude moyenne synodique du premier satellite est donc nulle alors, et, au lieu d’être éclipsé, il peut produire sur Jupiter une éclipse de Soleil.

On a vu, dans le n^o 4, que les deux principales inégalités du second satellite, produites par les actions du premier et du troisième, se réunissent, en vertu des théorèmes précédents, dans un seul terme qui forme la grande inégalité que les observations ont indiquée dans le mouvement du second satellite ; ces inégalités seront donc constamment réunies, et il n’est point à craindre que dans la suite des siècles elles se séparent.

Sans l’action mutuelle des satellites, les deux équations

${\begin{aligned}n-3n'+2n''=&0,\\\varepsilon -3\varepsilon '\,+2\varepsilon ''\,=&\pi \end{aligned}}$

n’auraient aucune liaison entre elles ; il faudrait supposer d’ailleurs qu’à l’origine les époques et les moyens mouvements des satellites ont été ordonnés de manière à satisfaire à ces équations, ce qui est infiniment peu vraisemblable ; et dans ce cas même, la force la plus légère, telle que l’attraction des planètes et des comètes, aurait fini par changer ces rapports. Mais l’action réciproque des satellites fait disparaître ces invraisemblances et donne de la stabilité aux rapports précédents. En effet, on a, par ce qui précède, à l’origine du mouvement.

${\frac {dv}{ndt}}-{\frac {3dv'}{ndt}}+{\frac {2dv''}{ndt}}=\pm {\sqrt {{\frac {c}{n^{2}}}-2k\cos(\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '')}},$