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dant de $2v'-2v''$ est, par ce qui précède, égal à $m'{\rm {A}}^{'(2)}\cos(2v'-2v'')\,;$ en n’ayant donc égard qu’à ce terme, on aura

$d''{\rm {R}}''=2m'{\rm {A}}^{'(2)}dv''\sin(2v'-2v'')+m'dr''{\frac {\partial {\rm {A^{'(2)}}}}{\partial r''}}\cos(2v'-2v'').$

Cette fonction renferme la suivante

$4m'{\rm {A}}^{'(2)}n''dt\partial v''\cos(2v'-2v'')+2m'n''dt\partial r'{\frac {\partial {\rm {A^{'(2)}}}}{\partial a'}}\sin(2v'-2v'').$

En substituant, pour $\partial v'$ et $\partial r',$ les parties de leurs valeurs qui dépendent de l’angle $nt-n't,$ et observant que $n'={\frac {1}{2}}n,$ et $n''={\frac {1}{4}}n$ à fort peu près, on aura

$3a''n''dt\operatorname {d} ''{\rm {R}}''=-{\frac {3n^{3}mm'{\rm {F'G}}dt^{2}}{64(n-n'-{\rm {N')}}}}\sin(v-3v'+2v''),$

d’où il est facile de conclure qu’en n’ayant égard qu’à l’action réciproque de $m'$ et $m''$ on a

$0=m'\operatorname {d} '{\rm {R}}'+m''\operatorname {d} ''{\rm {R}}'',$

ce qui est conforme au n^o 65 du Livre II. On a donc

${\frac {d^{2}v''}{dt^{2}}}=-{\frac {3n^{3}mm'{\rm {F'G}}}{64(n-n'-{\rm {N')}}}}{\frac {a''}{a'}}\sin(v-3v'+2v'').$

Soit

$k=-{\frac {3n{\rm {F'G}}}{8(n-n'-{\rm {N')}}}}\left({\frac {a}{a'}}m'm''+{\frac {9}{4}}mm''+{\frac {a''}{4a'}}mm'\right).$

et nommons $\varphi$ l’angle $v-3v'+2v''\,;$ on aura, en réunissant les valeurs de ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}},-{\frac {3d^{2}v'}{dt^{2}}}$ et ${\frac {2d^{2}v''}{dt^{2}}},$

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=kn^{2}\sin \varphi .$

15. On peut supposer, dans cette équation, $k$ et $n^{2}$ constants, parce que leurs variations sont très-petites ; son intégrale donne alors

$dt={\frac {\pm d\varphi }{\sqrt {c-2kn^{2}\cos \varphi }}},$