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On peut observer ici, en comparant les deux expressions précédentes de $3andt\operatorname {d} {\rm {R}}$ et de $3a'n'dt\operatorname {d} '{\rm {R}}',$ que l’on a

$0=m\operatorname {d} {\rm {R}}+m'\operatorname {d} '{\rm {R}}',$

ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le n^o 65 du Livre II.

La partie de ${\rm {R'}}$ relative à l’action de $m''$ sur $m'$ enferme le terme $m''{\rm {A}}'^{(2)}\cos(2v'-2v'').$ En n’ayant égard qu’à ce terme, on a

$\operatorname {d} '{\rm {R'}}=-2m''{\rm {A}}'^{(2)}dv'\sin(2v'-2v'')+m''dr'{\frac {\partial {\rm {A'^{(2)}}}}{\partial a'}}\cos(2v'-2v'').$

Cette fonction développée renferme la suivante

${\begin{aligned}&-2m''{\rm {A}}'^{(2)}d\delta v'\qquad .\sin(2v'-2v'')-4m''{\rm {A}}'^{(2)}n'dt\delta v'\cos(2v'-2v'')\\&-2m''n'dt\delta r'{\frac {\partial {\rm {A'^{(2)}}}}{\partial a'}}\sin(2v'-2v'')+m''d\delta r'{\frac {\partial {\rm {A'^{(2)}}}}{\partial a'}}\cos(2v'-2v'').\end{aligned}}$

On a, par le n^o 4, en ne considérant que l’action du satellite $m$ sur $m',$

${\begin{aligned}{\frac {\partial r'}{a'}}=&-{\frac {mn'{\rm {G}}}{2(n-n'-{\rm {N')}}}}\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '),\\\partial v'=&\quad {\frac {mn'{\rm {G}}}{n-n'-{\rm {N'}}}}\quad \sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').\end{aligned}}$

En observant donc que $n=2n'$ à fort peu près, et que l’on a, par le n^o 4, l’équation très-approchée

${\rm {F}}'=-4a'{\rm {A}}'^{(2)}-a'^{2}{\frac {\partial {\rm {A'^{(2)}}}}{\partial a'}},$

on aura

$3a'n'dt\operatorname {d} '{\rm {R}}'={\frac {3mm''n^{3}dt^{2}}{32(n-n'-{\rm {N')}}}}{\rm {F'G}}\sin(v-3v'+2v'').$

En réunissant ces deux valeurs de $3a'n'dt\operatorname {d} '{\rm {R}}',$ on aura

${\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}={\frac {9mm''n^{3}}{32(n-n'-{\rm {N')}}}}{\rm {F'G}}\sin(v-3v'+2v'').$

Il nous reste à considérer la valeur de $\operatorname {d} ''{\rm {R''.}}$ Le terme de ${\rm {R''}}$ dépen-