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On a à très-peu près, par le n^o 4,

${\rm {G}}=2a'{\rm {A}}^{(1)}-a'^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}\,;$

de plus, $2n'-2n''$ est égal à $n-n',$ du moins à très-peu près, en sorte que leur différence est jusqu’à présent insensible ; on aura donc, en changeant $nt+\varepsilon ,n't+\varepsilon ',n''t+\varepsilon ''$ respectivement dans $v,v,v'',$ ce que l’on peut faire ici, et en substituant $d^{2}v$ au lieu de $3andt\operatorname {d} {\rm {R}},$

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-{\frac {3n^{3}m'm''{\frac {a}{a'}}{\rm {F'G}}}{8(n-n'-{\rm {N')}}}}\sin(v-3v'+2v'').$

La partie de ${\rm {R}}$ relative à l’action de $m''$ sur $m$ ne renfermant que des termes dépendants de l’angle $v-v''$ et de ses multiples, elle n’ajoute aucun terme à cette valeur de ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}.$

Considérons présentement le terme $m{\rm {A}}_{1}^{(1)}\cos(v-v')$ de la partie de l’expression de ${\rm {R'}}$ qui dépend de l’action de $m$ sur $m'$ comme on l’a vu dans le n^o 4. En n’ayant égard qu’à ce terme, on a

$\operatorname {d} '{\rm {R'}}=m{\rm {A}}_{1}^{(1)}dv'\sin(v-v')+mdr'{\frac {\partial {\rm {A_{1}^{(1)}}}}{\partial r'}}\cos(v-v').$

Cette fonction développée renferme la suivante

${\begin{aligned}&m{\rm {A}}_{1}^{(1)}d\delta v'\quad .\sin(v-v')+md\delta r'{\frac {\partial {\rm {A_{1}^{(1)}}}}{\partial a'}}\quad \cos(v-v')\\-&m{\rm {A}}_{1}^{(1)}n'dt\delta v'\cos(v-v')+m{\frac {\partial {\rm {A_{1}^{(1)}}}}{\partial a'}}n'dt\delta r'\sin(v-v').\end{aligned}}$

En substituant pour $\delta r'$ et $\delta v'$ leurs valeurs précédentes, et observant que $n''={\frac {1}{2}}n',$ à fort peu près, et que l’on a, par le n^o 4, d’une manière fort approchée,

${\rm {G}}=2a'{\rm {A}}_{1}^{(1)}-a'^{2}{\frac {\partial {\rm {A_{1}^{(1)}}}}{\partial a'}},$

on aura

$3a'n'dt\operatorname {d} '{\rm {R}}'={\frac {3n^{3}mm''{\rm {F'G}}dt^{2}}{16(n-n'-{\rm {N')}}}}\sin(v-3v'+2v'').$