Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/102

$\operatorname {d} '{\rm {R'}},\operatorname {d} ''{\rm {R}}'',$ on peut se dispenser de considérer les perturbations des satellites $m$ et $m''\,;$ il suffit d’avoir égard à celles du satellite $m'.$ Son inégalité relative à l’angle $2n't-2n''t,$ en se combinant par voie de soustraction avec l’angle $v-v'$ et son inégalité relative à l’angle $nt-n't,$ en se combinant de la même manière avec l’angle $2v'-2v'',$ produisent des termes dépendants de l’angle

$nt-3n't+2n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon ''.$

Considérons le terme $m'{\rm {A}}^{(1)}\cos(v-v')$ de l’expression de ${\rm {R.}}$ En n’ayant égard qu’à ce terme, on a

$\operatorname {d} {\rm {R}}=-m'{\rm {A}}^{(1)}dv\sin(v-v')+m'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial r}}dr\cos(v-v').$

Si l’on néglige les perturbations de $m$ et les excentricités des orbites, on a $dr=0$ et $dv=ndt,$ partant,

$\operatorname {d} {\rm {R}}=-m'{\rm {A}}^{(1)}ndt\sin(v-v'),$

ce qui donne, dans $\operatorname {d} {\rm {R}},$ les termes de l’ordre du carré des forces perturbatrices,

$m'{\rm {A}}^{(1)}ndt\delta v'\cos(v-v')-m'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial r'}}ndt\delta r'\sin(v-v').$

On a, par le n^o 4, en ne considérant que les perturbations dépendantes de l’angle $2n't-2n''t,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial r'}{a'}}=&-{\frac {n'm''{\rm {F'}}}{2(2n'-2n''-{\rm {N')}}}}\cos(2n't-2n''t+2\varepsilon '-2\varepsilon ''),\\\partial v'=&\quad {\frac {n'm''{\rm {F'}}}{2n'-2n''-{\rm {N'}}}}\quad \sin(2n't-2n''t+2\varepsilon '-2\varepsilon '').\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans les termes précédents, en ne conservant que les termes dépendants de $nt-3n't+2n''t,$ et observant que $n$ est à fort peu près égal à $2n',$ on aura

$3andt\operatorname {d} {\rm {R}}=-{\frac {3n^{3}m'm''{\frac {a}{a'}}{\rm {F'}}\left(2a'{\rm {A}}^{(1)}-a'^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}\right)}{8(2n'-2n''-{\rm {N')}}}}$

$\times dt^{2}\sin(nt-3n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '').$