de
sont les mêmes depuis
jusqu’à
que depuis
jusqu’à
en supposant donc
ce qui donne
![{\displaystyle \mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos q',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd3043cfeb6ce872d040a3cf78f2b87718447f3)
on aura
![{\displaystyle {\rm {V}}={\frac {4}{3}}\pi a^{2}-{\frac {4}{3}}\alpha \pi a^{2}y+\alpha a^{2}\iint y'dpdq'\sin p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2635d6cdd22c2f2deae7b1156d37fbc33e01d928)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
.
Maintenant, si l’on désigne par
l’intégrale de toutes les forces étrangères à l’attraction du sphéroïde et multipliées par les éléments de leurs directions, on aura par le no 24, dans le cas de l’équilibre,
const.
![{\displaystyle ={\rm {V}}+a^{2}{\rm {N}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211d4bd800d06254c55cf9885fc08878c3f58fdf)
et en substituant au lieu de
sa valeur, on aura
const.
![{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\rm {N}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18163be9ed7afc6d044d6237843c1e680db24d6b)
équation qui n’est évidemment que l’équation de l’équilibre du no 24, présentée sous une autre forme. Cette équation étant linéaire, il en résulte que, si un nombre quelconque
de rayons
y satisfont, le rayon
y satisfera pareillement.
Supposons que les forces étrangères se réduisent à la force centrifuge due au mouvement de rotation du sphéroïde, et nommons
cette force, à la distance
de l’axe de rotation ; nous aurons, par le no 23,
l’équation de l’équilibre sera par conséquent
const.
![{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\frac {1}{2}}g\left(1-\mu ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9341e2bcccc9b59e020d30c656afbb345ac3bb)
En la différenciant trois fois de suite relativement à
et en observant que
en vertu de l’équation
![{\displaystyle \mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos q',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd3043cfeb6ce872d040a3cf78f2b87718447f3)
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {4}{3}}\pi {\frac {\partial ^{3}y}{\partial ^{3}\mu }}-\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial ^{3}\mu '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddd32afdd85f94e7e035fa02c922c15c82e557d)