En substituant ces valeurs dans
et en développant cette fonction en sinus et cosinus de l’angle
et de ses multiples, si
est la fonction la plus générale de l’ordre
alors
et
seront multipliés par des fonctions de la forme
![{\displaystyle \left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\rm {A}}\mu ^{s-n}+{\rm {B}}\mu ^{s-n-1}+{\rm {C}}\mu ^{s-n-2}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb137258ed55a81fabde8b1f5d940c438c2d007)
ainsi la partie de
dépendante de l’angle
renfermera
constantes indéterminées. La partie de
dépendante de l’angle
et de ses multiples renfermera donc
indéterminées ; la partie indépendante de
en renfermera
renfermera donc
constantes indéterminées.
La fonction
renferme pareillement
constantes indéterminées, puisque la fonction
en renferme
; on peut donc transformer
dans une fonction de cette forme, et voici la manière là plus simple d’exécuter cette transformation.
On prendra, par ce qui précède, l’expression la plus générale de
on la retranchera de
, et l’on déterminera les arbitraires de
de manière que les puissances et les produits de
et de
de l’ordre
disparaissent de la différence
cette différence deviendra ainsi une fonction de l’ordre
, que nous désignerons par
On prendra l’expression la plus générale de
on la retranchera de
et l’on déterminera les arbitraires de
de manière que les puissances et les produits de
et de
de l’ordre
disparaissent de la différence
En continuant ainsi, on déterminera les fonctions
dont la somme forme
17. Reprenons maintenant l’équation du no 15,
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}=\iiint \rho {\rm {R}}^{i+2}d{\rm {R}}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474110b3a474b78b509977fad37811a30e005c24)
Supposons
fonction de
et d’un paramètre
constant pour toutes les couches de même densité et variable d’une couche à l’autre.