9. Supposons d’abord le point attiré extérieur au sphéroïde. Si l’on réduit
en série, elle doit être dans ce cas descendante par rapport aux puissances de
et par conséquent de cette forme
![{\displaystyle {\rm {V}}={\frac {{\rm {U}}^{(0)}}{r}}+{\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{r}}^{2}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{r}}^{3}+{\frac {{\rm {U}}^{(3)}}{r}}^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f526b782b9acb9726d834868e0c624cde43220)
En substituant cette valeur de
dans l’équation (3) du numéro précédent, la comparaison des mêmes puissances de
donnera, quel que soit ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+gec|up{\rm {U}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa0ddd963d7a72f48bdea5cf37f2c628d8765b9)
Il est clair, par la seule expression intégrale de
, que
est une fonction rationnelle et entière de
et
dépendante de la nature du sphéroïde. Lorsque
cette fonction se réduit à une constante, et dans le cas de
elle est de la forme
![{\displaystyle {\rm {H}}\mu +{\rm {H}}'{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +{\rm {H}}''{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3081e3026882fe9408670c35bce05dd9efdc1a8)
étant des constantes.
Pour déterminer généralement
nommons
le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2{\rm {R}}r\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )\right]-{\rm {R}}^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29ff051d09d2dee4ae630ba7f1b39cbe92344ae)
nous aurons
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {T}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {T}}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}.r{\rm {T}}}{\partial r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c51ef842b6ab9a7c13a0ac2f68b0266275ae437)
Cette équation subsisterait encore, en y changeant
en
en
et réciproquement, parce que
est une pareille fonction de
et de
que de
et de ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
Si l’on réduit
dans une suite descendante relativement à
on aura
![{\displaystyle {\rm {T}}={\frac {{\rm {Q}}^{(0)}}{r}}+{\rm {Q}}^{(1)}{\frac {\rm {R}}{r^{2}}}+{\rm {Q}}^{(2)}{\frac {\rm {R^{2}}}{r^{3}}}+{\rm {Q}}^{(3)}{\frac {\rm {R^{3}}}{r^{4}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39226fc28528e3b484c4d8bd20c6d28381cb0da5)