Nous voilà donc parvenus à une théorie complète des attractions des sphéroïdes elliptiques ; car la seule chose qui reste à désirer est l’intégration de l’expression différentielle de et cette intégration dans le cas général est impossible, non-seulement par les méthodes connues, mais encore en elle-même. La valeur de ne peut pas être exprimée en termes finis au moyen de quantités algébriques, logarithmiques ou circulaires, ou, ce qui revient au même, par une fonction algébrique de quantités dont les exposants soient constants, nuls ou variables. Les fonctions de ce genre étant les seules que l’on puisse exprimer indépendamment du signe toutes les intégrales qui ne peuvent pas être ramenées à des fonctions semblables sont impossibles en termes finis.
Si le sphéroïde elliptique n’est pas homogène, et s’il est composé de couches elliptiques variables de position, d’excentricités et de densité suivant une loi quelconque, on aura l’attraction d’une de ses couches, en déterminant, par ce qui précède, la différence des attractions de deux sphéroïdes elliptiques homogènes de même densité que cette couche, dont l’un aurait pour surface la surface extérieure de la couche, et dont l’autre aurait pour surface la surface intérieure de cette même couche. En sommant ensuite cette attraction différentielle, on aura l’attraction du sphéroïde entier.
