d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {XY}}&={\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\cos ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2\nu +{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{4}}\sin ^{2}\gamma \sin 2\Lambda -{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\sin ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2\nu -4\Lambda ),\\{\rm {XZ}}&={\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\sin \gamma \cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2\nu -\Lambda )-{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{4}}\sin 2\gamma \sin \Lambda \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {r_{\text{ı}}^{2}}{2}}\sin \gamma \sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2\nu -3\Lambda ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73c4cd68c2b9e275847a4e15fe9ef01db76ca79)
Vu l’extrême lenteur du mouvement des points équinoxiaux, on peut supposer
égal au mouvement angulaire du Soleil pendant l’instant
, et l’on a, par les no 19 et 20 du Livre II,
![{\displaystyle r_{\text{ı}}^{2}d\nu =a^{2}mdt{\sqrt {1-e^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699c6db963f6c08ea9ecd9d8c434578ee0ff4814)
étant le moyen mouvement du Soleil,
étant sa moyenne distance à la Terre, et
étant le rapport de l’excentricité de son orbite à cette distance moyenne. On a de plus, par le no 20 du même Livre, en négligeant les masses des planètes relativement à celle du Soleil,
et l’équation à l’ellipse donne
![{\displaystyle {\frac {a}{r_{\text{ı}}}}={\frac {1+e\cos(\nu -\Gamma )}{1-e^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4093ca72de82f4402ad52d14247095bea108d557)
étant la longitude du périgée solaire ; on aura donc, relativement au Soleil,
![{\displaystyle {\begin{aligned}P'dt&={\frac {3{\rm {L}}dt}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {(XY\sin \theta +XZ\cos \theta )}}\\&={\frac {3md\nu \left[1+e\cos(\nu -\Gamma )\right]}{\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\rm {XY}}{r_{\text{ı}}^{2}}}\sin \theta +{\frac {\rm {XZ}}{r_{\text{ı}}^{2}}}\cos \theta \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5b08eae1c221956f5dda244ece3cc13947f35c)
Si l’on substitue pour
et
leurs valeurs précédentes en
on verra d’abord, après avoir développé
en sinus de l’angle
et de ses multiples, que les termes dépendants de la longitude
du périgée solaire renferment l’angle
et qu’ainsi ils ne peuvent pas devenir sensibles par l’intégration. Il n’en est pas de même des termes dépendants de la longitude du nœud : la fonction
introduit dans ![{\displaystyle {\rm {P}}'dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819083ec01d1bff7f9f8335b21eb192c01da7b5e)