jusqu’à la valeur de
à la surface, valeur que nous désignerons par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {1}{5}}\iint R^{'5}d\mu d\varpi \left[1-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right],\\{\rm {B}}&={\frac {1}{5}}\iint R^{'5}d\mu d\varpi \left[1-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],\\{\rm {C}}&={\frac {1}{5}}\iint R^{'5}d\mu d\varpi \left(l-\mu ^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a79e11f33a980c76475943cb1624476b0179c9)
Supposons
développé dans une série de cette forme
![{\displaystyle {\rm {R^{'5}=U^{(0)}+U^{(1)}+U^{(2)}+U^{(3)}+\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9afa8168b9125f13a3a451fca1ebeee59e4aa9)
étant une fonction rationnelle et entière de
et
assujettie à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U^{(i)}}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U^{(i)}}}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U^{(i)}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086cbeb82311c7e5ab00b4c922103cb49435cbc6)
La fonction
est égale à
: la constante
est comprise dans la forme
et la fonction
est de la forme
puisqu’elle satisfait pour
à l’équation précédente aux différences partielles. Pareillement,
est égal à
et le second terme de cette expression est de la forme
Enfin la fonction
est égale à
et la partie
est de la forme
on aura donc, en vertu du théorème que nous avons démontré dans le Livre III, no 12,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {1}{5}}\iint d\mu d\varpi \left\{{\frac {2}{3}}{\rm {U}}^{(0)}+\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right]{\rm {U}}^{(2)}\right\},\\{\rm {B}}&={\frac {1}{5}}\iint d\mu d\varpi \left\{{\frac {2}{3}}{\rm {U}}^{(0)}+\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right]{\rm {U}}^{(2)}\right\},\\{\rm {C}}&={\frac {1}{5}}\iint d\mu d\varpi \left[{\frac {2}{3}}{\rm {U}}^{(0)}+\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right){\rm {U}}^{(2)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e652695ddee6c264921dc2b94ce4a69210c8a8)
Les intégrales doivent être prises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {8}{15}}\pi {\rm {U}}^{(0)}+{\frac {1}{5}}\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right],\\{\rm {B}}&={\frac {8}{15}}\pi {\rm {U}}^{(0)}+{\frac {1}{5}}\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],\\{\rm {C}}&={\frac {8}{15}}\pi {\rm {U}}^{(0)}+{\frac {1}{5}}\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e09e16059214cd880efb0f6d1dc35e56ff1ecb9)