Vers le maximum des marées ou vers les syzygies, l’angle
est peu considérable, puisqu’il est nul au maximum ; on aura donc à peu près, à l’instant de la pleine mer,
En substituant cette valeur dans la fonction (A), on aura, dans la supposition où le temps
doit être diminué de
dans cette fonction, comme dans la fonction multipliée par
,
![{\displaystyle {\rm {(A)=-A}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\sin v\cos v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\sin v'\cos v'\right)\cos(\lambda -\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5ee7c247bc2dc0cee3ba5580875962db32e088)
(A) étant très-petit, l’erreur de la supposition précédente doit être insensible. La fonction (A’) devient à très-peu près
![{\displaystyle {\rm {(A')=A}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\sin v\cos v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\sin v'\cos v'\right)\sin(\gamma -\lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587e947dfe02a26ffa0d15486d0c9545c91bef6f)
On peut même, vu la petitesse de ces fonctions,y supposer
ce qui rend (A’) nul. Cela posé, si, dans les termes multipliés par
des expressions de
et de
on néglige la quatrième puissance de
on aura, vers les syzygies,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y'=-{\frac {1+3\cos 2\theta }{8g\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right]\\\\&\qquad +{\rm {P}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\right)-{\frac {2{\rm {P}}{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}}\left[(\psi '-\psi )^{2}+{\frac {1}{4}}q^{2}\right],\\\\&y''={2{\rm {P}}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\right)-{\frac {4{\rm {P}}{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}}\left[(\psi '-\psi )^{2}+{\frac {1}{8}}q^{2}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47bbb7ea84aa7790a88da600fc6f1573d02c7b3)
étant la variation de l’arc
dans l’intervalle des deux pleines mers consécutives. L’addition des termes qui en dépendent est fondée sur ce que la véritable valeur de
de l’expression de
est la demi-somme des carrés
relatifs aux deux pleines mers consécutives, et il est facile de voir que cette demi-somme est égale à