Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/190

développements en séries suivant les puissances de ${\frac {1}{a}}$ ce qui suffit dans la question présente ; mais, comme ${\rm {V}}$ devient infmi dans la supposition de $a$ infini, il faut, au lieu de chercher ${\rm {V}}$, déterminer ${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial u}},$ dont la valeur n’est jamais infinie. Il est visible que l’expression de ${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial u}},$ donnera celle de ${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}},$ et par conséquent on aura les attractions de l’anneau parallèles aux axes des $u$ et des $z.$

Les dimensions de la figure génératrice des anneaux de Saturne sont assez petites relativement à leurs diamètres pour que l’on puisse négliger les termes divisés par $a$ ; or, si l’on substitue dans l’intégrale précédente, au lieu de $\cos \varpi ,$ sa valeur en série $1-{\frac {1}{2}}\varpi ^{2}+\ldots ,$ et si l’on suppose $a\varpi =t,$ elle devient, en négligeant les termes divisés par $a,$

$\int {\frac {dt}{\sqrt {(u-x)^{2}+y^{2}+t^{2}}}}.$

Sa différentielle, prise par rapport à $u$ et divisée par $du,$ est

$-\int {\frac {(u-x)dt}{\left[(u-x)^{2}+y^{2}+t^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.$

L’intégrale relative à $u$ devant être prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi ,\ \pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, elle est évidemment la même que si on la prenait depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi ,$ ce qui, dans le cas de $a$ infini, revient à prendre l’intégrale relative à $t$ depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty \,;$ et alors elle devient

$-{\frac {2(u-x)}{(u-x)^{2}+y^{2}}},$

et par conséquent on a, lorsque le point attiré est sur l’axe des $u$,

$-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial u}}=2\iint {\frac {(u-x)dydx}{(u-x)^{2}+y^{2}}}=4\int dx\operatorname {arctang} {\frac {\varphi (x)}{u-x}}.$

Si l’on suppose que la figure génératrice de l’anneau est une ellipse,