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Soient ${\rm {P}}$ la pesanteur à l’équateur du sphéroïde, et $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; on aura

$p={\rm {P}}\left(1+{\frac {3-n}{4}}\alpha \varphi \mu ^{2}\right),$

d’où il suit que, de l’équateur aux pôles, la pesanteur varie proportionnellement au carré du sinus de la latitude. Dans le cas de la nature, où $n=-2$, on a

$p={\rm {P}}(1+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi \mu ^{,},$

ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé précédemment. Mais il est remarquable que, si $n=3$, on a $p={\rm {P,}}$ c’est-à-dire que, si l’attraction est proportionnelle au cube de la distance, la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes est partout la même, quel que soit leur mouvement de rotation.

37. Nous n’avons eu égard, dans la recherche de la figure des corps célestes, qu’aux quantités de l’ordre $\alpha$ ; mais il est facile, par l’analyse précédente, d’étendre les approximations aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et des ordres supérieurs. Considérons pour cela la figure d’une masse fluide homogène en équilibre, recouvrant un sphéroïde peu différent d’une sphère et doué d’un mouvement de rotation, ce qui est le cas de la Terre et des planètes. La condition de l’équilibre à la surface donne, par le n^o 23, l’équation

const.$={\rm {V}}-{\frac {g}{2}}r^{2}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

La valeur de ${\rm {V}}$ se compose : 1^o de l’attraction du sphéroïde recouvert par le fluide, sur la molécule de la surface déterminée par les coordonnées $r,\theta$ et $\varpi$ ; 2^o de l’attraction de la masse fluide sur cette molécule ; or la somme de ces deux attractions est la même que la somme des attractions : 1^o du sphéroïde, en supposant la densité de chacune de ses couches diminuée de la densité du fluide ; 2^o d’un sphéroïde de même densité que le fluide, et dont la surface extérieure est la même que celle du fluide. Soit ${\rm {V'}}$ la première de ces attractions et ${\rm {V''}}$ la se-