C’est à ces trois conditions que se réduisent les conditions nécessaires pour que les trois axes des
des
et des
soient de véritables axes de rotation, et alors
sera de la forme
![{\displaystyle {\rm {H\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+H^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d7a9c8cc9080b811444d9708e0bba74170cdbe)
Lorsque le sphéroïde est un solide peu différent de la sphère, recouvert d’un fluide en équilibre, on a
et par conséquent
![{\displaystyle \int \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}={\frac {1}{5}}\int \rho d\left[a^{5}(1+5\alpha y)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca82f05fb2d069334b3b2729db622f123561ad44)
Si l’on substitue pour
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(2)}=\alpha \int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfa9c0ca56eb42eb38002706d820c93f54ad190)
L’équation (2) du no 29 donne, à la surface du sphéroïde,
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}\int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)={\frac {4}{3}}\pi {\rm {Y}}^{(2)}\int \rho d.a^{3}-{\rm {Z}}^{(2)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2690d073a145056279ec7ad1a268c76429f3de5)
et
dans le second membre de cette équation, étant relatifs à la surface ; on a donc
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(2)}={\frac {5}{3}}\alpha {\rm {Y}}^{(2)}\int \rho d.a^{3}-{\frac {5\alpha {\rm {Z}}^{(2)}}{4\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d124374e75d753e66868a6c5c6622b0f8cc9ed6a)
La valeur de
est de la forme
![{\displaystyle -{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+g'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +g''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b07e365ba3684b48dd6a43a68c11730cc44f14)
![{\displaystyle g'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +g^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036b4522cb90cf5b26c7ad449c3ef859af9de968)
et celle de
est de la forme
![{\displaystyle -h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+h'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +h''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba1b3ea3417fdfa5ad6196dea6823e757b9c75c)
![{\displaystyle h'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8666e4713c0659b897ed45a926d261e013e86028)
En substituant dans l’équation précédente ces valeurs, et
![{\displaystyle {\rm {H}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+{\rm {H}}^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c86b88a98c28198d84c49043db60caed05306b)
au lieu de
on aura
![{\displaystyle h'={\frac {g'}{4\pi \int \rho a^{2}da}},\qquad h''={\frac {g''}{4\pi \int \rho a^{2}da}},\qquad h'''={\frac {g'''}{4\pi \int \rho a^{2}da}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4467ee7dda7a52ff4910b2e1f367ecc36d9824)