or on a
on pourra donc mettre l’équation précédente sous cette forme
![{\displaystyle 0=\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p\left({\frac {7}{3}}{\frac {\partial ^{3}y}{\partial \mu ^{3}}}-{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial \mu ^{'3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557ed38c046f2de5e6ca58e9df2b112b59420940)
Cette équation doit avoir lieu quel que soit
; or il est clair que, parmi toutes les valeurs comprises depuis
jusqu’à
il en existe une, que nous désignerons par
, et qui est telle que, abstraction faite du signe, aucune des valeurs de
ne surpassera celle qui est relative à
; en désignant donc par
cette dernière valeur, on aura
![{\displaystyle 0=\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p\left({\frac {7}{3}}{\rm {H}}-{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial \mu ^{'3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f6db85b22a0cf544f375bc6f9965efd838c953)
La quantité
est évidemment du même signe que
, et le facteur
est constamment positif dans toute l’étendue de l’intégrale ; les éléments de cette intégrale sont donc tous du même signe que
; d’où il suit que l’intégrale entière ne peut être nulle, à moins que
ne le soit lui-même, ce qui exige que l’on ait généralement
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle y=l+m\mu +n\mu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69778f69b2f58a100cdca627899f8291b009ccf6)
étant des constantes arbitraires.
Si l’on fixe l’origine des rayons au milieu de l’axe de révolution, et que l’on prenne pour
la moitié de cet axe,
sera nul lorsque
et lorsque
ce qui donne
et
la valeur de
devient ainsi
en la substituant dans l’équation de l’équilibre
const.
![{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\frac {1}{2}}g\left(1-\mu ^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab17159cbabcc330e6f9537ba1f0e6393a469d0)
on trouvera
étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, rapport qui est à très-peu près égal à ![{\displaystyle {\frac {3g}{4\pi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1168a60d2ad92868c15767f7f39f8b5be6074fb6)