lignes proportionnelles. Cette théorie est fondée sur la proposition suivante : Une droite, menée parallèlement à la hase d’un triangle, divise ses côtés en parties proportionnelles. Il est facile de la démontrer quand un des côtés et sa partie sont commensurables ; car, si l’on porte la commune mesure sur ce côté, et si par les extrémités de toutes les divisions on mène des parallèles à la base, on prouve aisément qu’elles divisent le second côté dans le même nombre de parties égales, et qu’ainsi l’une quelconque de ces parallèles partage les deux côtés en parties proportionnelles. Si le côté et sa partie sont incommensurables, nommons et les deux côtés du triangle ; et leurs parties retranchées par la parallèle à la base. Si l’on conçoit le côté divisé dans un nombre de parties égales, et si l’on porte une de ces parties sur elle y sera contenue un certain nombre de fois avec un reste que je désigne par En menant donc, par l’extrémité de une droite parallèle à la base, elle retranchera du côté une partie telle que
d’où l’on tire
Le nombre pouvant être augmenté à volonté, les restes et peuvent être diminués à l’infini ; la différence est donc plus petite qu’aucune grandeur donnée. Or, deux quantités dont on peut prouver que la différence est moindre qu’aucune grandeur donnée sont évidemment égales entre elles ; c’est en cela que consiste le premier principe de la méthode des limites ; on a donc
On nomme figures semblables celles qui ont les angles correspondants égaux, et les côtés homologues proportionnels. Dans deux triangles, l’égalité des angles correspondants entraîne la proportionnalité des côtés homologues, et réciproquement.
