Cette méthode a l’avantage de s’étendre à un nombre quelconque d’équations entre un pareil nombre d’inconnues. Si l’on a des valeurs suffisamment approchées de ces inconnues, alors, en substituant à leur place ces valeurs augmentées respectivement d’une nouvelle inconnue et en négligeant les carrés de ces nouvelles inconnues, elles seront déterminées par autant d’équations du premier degré. Ainsi, pour avoir les valeurs très approchées des inconnues dans les équations proposées, on ne sera point obligé de recourir à l’élimination qui souvent est très pénible. Enfin, la même méthode s’étend aux équations que l’on nomme transcendantes et dont je vous parlerai dans la suite.
On a imaginé divers moyens pour avoir les premières valeurs approchées des racines des équations ; si l’on forme les sommes successives des carrés, des cubes, des quatrièmes puissances, …, des racines, il est visible que la plus grande des racines, abstraction faite du signe, se manifestera d’autant plus que les puissances seront plus élevées ; en divisant la somme des puissances par la somme des puissances le quotient approchera beaucoup de cette plus grande racine, si le nombre et l’excès de cette racine sur chacune des autres sont un peu considérables. Mais on aura plus exactement cette racine en extrayant la racine ième de la somme des puissances des racines.
On aura, de la même manière, la plus petite valeur approchée de l’inconnue en faisant cette inconnue égale à l’unité divisée par une nouvelle inconnue. La plus petite racine de l’équation proposée devient alors la plus grande racine de l’équation transformée.
On peut encore déterminer la racine approchée des équations par le moyen des fractions continues. Si l’on suppose que et soient deux nombres qui, substitués dans l’équation proposée au lieu de l’inconnue, donnent deux résultats de signes contraires, étant positif et assez petit pour qu’il n’y ait qu’une racine réelle entre et en faisant l’inconnue égale à plus l’unité divisée par une nouvelle inconnue, ou aura, pour déterminer cette deuxième inconnue, une transformée dont il suffira de considérer la plus grande valeur positive. Supposons qu’elle tombe entre les deux nombres et on fera la deuxième
