l’on avait quelque incertitude à cet égard, on pourrait former l’équation aux carrés des différences des racines et chercher la valeur de la plus petite racine positive de cette équation par la méthode que nous allons bientôt indiquer. La plus petite différence des racines réelles de la proposée ne sera jamais moindre que la racine carrée de cette valeur.
L’équation étant préparée de manière que la plus haute puissance de l’inconnue ait l’unité pour coefficient, ce que l’on peut toujours facilement exécuter, la plus grande racine positive n’excédera jamais le plus grand coefficient négatif pris avec le signe et augmenté de l’unité. Le plus grand des coefficients négatifs de l’équation, lorsqu’en y faisant l’inconnue négative on conserve l’unité avec le signe pour coefficient de sa plus haute puissance, sera, en lui ajoutant la limite des racines négatives de la proposée. Au moyen de ces théorèmes le nombre des essais sera nécessairement limité.
Quand on parvient, par des substitutions successives, à deux résultats de signes contraires, on est assuré qu’une des racines réelles de l’équation tombe entre les valeurs qui, substituées pour l’inconnue, ont produit ces résultats ; alors, en prenant une moyenne entre ces valeurs et en la substituant pour l’inconnue dans l’équation proposée, la racine sera comprise entre cette valeur moyenne et celle des deux valeurs extrêmes qui ont donné un résultat de signe contraire au sien. Les limites dans lesquelles cette racine est comprise sont donc par là resserrées. En continuant ainsi de resserrer ces limites, on parvient à une valeur de la racine aussi approchée que l’on veut.
Mais, quand on a une valeur déjà suffisamment approchée de la racine, on peut l’obtenir, par une approximation beaucoup plus rapide, de cette manière : on substituera dans l’équation, au lieu de l’inconnue, cette première valeur approchée plus une nouvelle inconnue dont on négligera le carré et les puissances supérieures ; on aura ainsi, pour la déterminer, une équation du premier degré. En l’ajoutant à la première valeur approchée, on aura une deuxième valeur plus approchée de la racine. Si l’on fait le même usage de cette deuxième valeur, on aura une troisième valeur encore plus approchée et ainsi de suite.
