place une nouvelle inconnue qui ait un même rapport avec chacune d’elles, telle que leur somme ou leur produit. Cette nouvelle inconnue sera donnée par une équation plus simple. En général, pour avoir les solutions des problèmes les plus élégantes, il faut choisir les inconnues de manière à obtenir les équations les moins élevées par des artifices analogues à ceux dont nous avons l’ait usage pour la résolution des équations.
On peut encore, au moyen de l’élimination, faire disparaître les radicaux d’une équation irrationnelle. On égalera chacun de ces radicaux à une inconnue et, dans cette dernière égalité, on fera disparaître le radical en élevant chaque membre de l’équation à une puissance convenable. On aura ainsi plusieurs équations rationnelles entre le même nombre d’inconnues et l’élimination donnera une équation finale et rationnelle qui ne renfermera que la première inconnue.
On a vu le peu de progrès que l’on a faits jusqu’ici dans la résolution des équations complètes et l’on peut juger, par la complication des expressions des racines dans les degrés résolus, du peu d’utilité que l’on retirerait de la résolution générale des équations. Ces raisons ont déterminé les analystes à s’occuper des méthodes d’approximation. Voici, de toutes ces méthodes, la plus naturelle et la plus simple.
Si, après avoir fait passer tous les termes d’une équation dans le premier membre, on y substituait successivement, au lieu de l’inconnue, tous les nombres tant positifs que négatifs, il est clair que ce membre donnerait une suite de résultats qui ne seraient nuls que dans le cas où les nombres substitués seraient égaux aux racines réelles de l’équation. Il est visible encore que, en deçà et au delà de ces racines, les résultats des substitutions auraient des signes contraires ; en substituant donc successivement, au lieu de l’inconnue, des nombres très rapprochés, on aura autant de changements de signes dans les résultats qu’il y a de racines réelles dans l’équation proposée.
Pour ne laisser échapper aucune racine réelle, il faut que la différence de la progression des nombres que l’on substitue au lieu de l’inconnue soit moindre que la plus petite différence des racines. Si
