de la proposée ne dépend que d’une équation du degré En effet, et étant deux racines correspondantes de cette équation, si l’on suppose et si, dans la relation donnée, on substitue au lieu de sa valeur on aura une équation entre et de laquelle, éliminant au moyen de la proposée, on aura une équation finale en Mais si l’on forme l’équation générale dont les racines soient les sommes des racines de la proposée, prises deux à deux, on aura une nouvelle équation en Ces deux équations en auront, par conséquent, un diviseur commun qui sera du degré car il n’y a, par la supposition, que couples de racines qui satisfassent à la relation donnée. On aura donc chacun de ces couples au moyen d’une équation du degré Maintenant, si l’on suppose que soit l’un d’eux, le facteur du deuxième degré sera un diviseur de la proposée, étant une quantité qu’il s’agit de déterminer. Pour cela, on divisera la proposée par ce facteur et, après avoir fait la division, autant qu’il est possible, on égalera séparément à zéro dans le reste de la division et le coefficient de et la quantité qui en est indépendante. On aura ainsi deux équations entre et et, comme est supposé connu, on aura en cherchant le commun diviseur de ces deux équations.
Si la proposée, par exemple, est telle que les coefficients des termes, également éloignés des extrêmes, soient les mêmes, ce qui constitue les équations que l’on nomme réciproques, alors il est clair que étant une des racines de l’équation, elle aura une racine correspondante telle que En faisant donc sera donné par une équation du degré On obtiendra facilement cette équation en observant que, si l’on divise par tous les termes de la proposée et si l’on réunit les termes également éloignés des extrêmes, on aura des sommes de la forme et il est très aisé d’avoir ces sommes en fonctions de
On voit ainsi que le choix des inconnues n’est pas indifférent dans la solution des problèmes ; si deux d’entre elles, par exemple, sont données par la même équation, il sera plus simple d’employer à leur
