est encore invariable par rapport aux racines elles peuvent donc en être éliminées, au moyen des coefficients des puissances de dans la seconde équation ; il deviendra ainsi une fonction rationnelle et entière de et, en l’égalant à zéro, on aura l’équation finale en
Cette équation peut être formée plus simplement en substituant successivement, au lieu de dans la seconde des équations proposées, les racines et en formant le produit des équations qui en résultent. Ce produit égalé à zéro sera l’équation linale cherchée et, comme il est une fonction invariable des racines on pourra les éliminer au moyen des coefficients des puissances de dans la première équation.
Le degré de l’équation finale est visiblement égal à la plus haute puissance de dans le produit or, le produit étant la quantité indépendante de dans la première des équations proposées, la plus haute puissance de qu’elle contient est la plus haute puissance de dans l’équation finale est donc ainsi, le degré de cette équation, dans le cas général, est égal au produit des degrés des deux équations composantes et, dans aucun cas, il ne peut excéder ce produit.
étant une des racines de l’équation finale on en la substituant pour dans les deux équations proposées, on aura deux équations en qui auront pour diviseur commun étant la valeur de correspondant à la valeur de de
De là résulte un nouveau moyen d’obtenir l’équation finale en car les deux équations proposées devant avoir un diviseur commun en si l’on cherche ce diviseur par les méthodes connues, on parvient à un reste qui est une fonction de et qui, étant égalé à zéro, donnera l’équation finale.
On peut encore parvenir à cette équation finale par la méthode suivante. Multiplions la première des deux équations par un polynôme en et du degré nous pouvons, au moyen de la seconde équation, éliminer du produit toutes les puissances de égales ou supérieures à Nous pouvons, de plus, prendre ce polynôme assez élevé, et ren-
