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toute équation du degré $2^{i-1}s'$ a un facteur réel du même degré ; car alors on a une infinité de fonctions de la forme $a+b+mab,$ dont la valeur est de la forme $e+g{\sqrt {-1}}$ et l’on en conclura, par le raisonnement précédent, qu’il y à deux racines $a$ et $b$ telles que $a+b$ et $ab$ sont de la même forme. Le facteur $x^{2}-(a+b)x+ab$ prend alors la forme

$x^{2}+fx+h+{\sqrt {-1}}\left(f'x+h'\right).$

Soit $\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}$ le quotient de la division de la proposée par ce facteur, $\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}}$ sera le quotient de la proposée par la quantité

$x^{2}+fx+h-{\sqrt {-1}}\left(f'x+h'\right)\,;$

la proposée sera donc divisible par le produit de ces deux facteurs du deuxième degré, du moins si ces facteurs n’ont point de diviseur commun. Elle aura donc pour facteur la fonction du quatrième degré

$\left(x^{2}+fx+h\right)^{2}+\left(f'x+h'\right)^{2}\,;$

or, cette quantité est, comme on vient de le voir, décomposable en deux facteurs réels du deuxième degré ; la proposée a donc un facteur réel de ce degré.

Si les deux facteurs précédents du deuxième degré ont un facteur commun, il ne peut être que $f'x+h',$ puisqu’il doit diviser leur différence ; la proposée sera donc divisible par $f'x+h'.$ Après la division, son degré devenant impair, elle aura encore un facteur réel du premier degré ; elle a donc un facteur du deuxième degré résultant du produit de ces deux facteurs du premier degré.

Toute équation du degré $2^{i}s$ a donc un facteur réel du deuxième degré si toute équation du degré $2^{i-1}s'$ a un facteur semblable. Par la même raison, toute équation du degré $2^{i-1}s'$ a un facteur réel du deuxième degré si toute équation du degré $2^{i-2}s''$ a un facteur semblable, $s''$ étant un nombre impair. En continuant ainsi jusqu’à l’équation du degré $2k,$ $k$ étant impair, équation qui, comme on vient de le voir, a nécessairement un facteur réel du deuxième degré, on voit, en