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est négatif. Supposons que ${\sqrt {z}}$ soit réel, les valeurs précédentes de $a$ et de $b$ donnent

$a+b={\sqrt {z}},$

$ab={\frac {1}{4}}\left(z-z'-z''-2{\sqrt {z'z''}}\right).$

Or, on a $z'+z''=-2p-z\,;$ de plus, $zz'z''=-q^{2},$ ce qui donne

${\sqrt {z'z''}}={\frac {-q}{\sqrt {z}}}\,;$

ainsi, $a+b$ et $ab$ sont réels, le facteur $x^{2}-(a+b)x+ab$ est donc réel ; or, ce facteur est évidemment diviseur de l’équation proposée du quatrième degré ; cette équation est donc résoluble en deux facteurs réels du deuxième degré.

De là résulte une démonstration fort simple de ce théorème général que nous avons énoncé précédemment et qui consiste en ce que toute équation d’un degré pair est résoluble en facteurs réels du deuxième degré.

Soient $a,b,c,\ldots$ les diverses racines de cette équation et supposons que $2^{i}s$ soit son degré, $s$ exprimant un nombre impair. L’équation dont les racines seront $a+b+mab,$ $m$ étant un coefficient quelconque, sera du degré $2^{i-1}s2^{i}(s-1)$ et, par conséquent, l’exposant de son degré sera de la forme $2^{i-1}s',$ $s'$ étant un nombre impair.

Si $i=1,$ cette nouvelle équation, dérivée de la première, sera d’un degré impair ; elle aura donc au moins une racine réelle, quelle que soit la valeur de $m$ et, comme on peut donner à $m$ une infinité de valeurs, on aura une infinité de fonctions de la formes $a+b=mab$ qui auront des valeurs réelles. Parmi ces fonctions il y en aura nécessairement qui renfermeront les mêmes racines de la proposée. Soient $a$ et $b$ ces racines et soient $a+b+mab$ et $a+b+m'ab$ deux fonctions dont les valeurs soient réelles ; leur différence $(m'-m)ab$ sera réelle ; $ab$ et $a+b$ seront donc réels, ainsi que le facteur $x^{2}-(a+b)x+ab\,;$ la proposée aura, par conséquent, un facteur réel du deuxième degré.

En général, la proposée aura un facteur réel du deuxième degré si