racines Cela vient de ce que la réduite en ne renfermant que le carré de les valeurs qu’elle donne pour doivent également satisfaire à la proposée, en y supposant négatif, en sorte que ces valeurs résolvent une équation du huitième degré, comme on a vu que la réduite du troisième degré résout une équation du neuvième. Mais ces valeurs se réduisent à quatre, en leur faisant remplir la condition que la somme des produits trois à trois des racines soit égale à Cette somme est égale à
il faut conséquemment donner aux radicaux un signe tel que ce produit soit d’un signe contraire à et cela déterminera les quatre valeurs que l’on doit prendre pour les racines de la proposée.
Si la réduite en a ses trois racines réelles, l’équation du quatrième degré à ses racines ou toutes quatre réelles ou toutes quatre imaginaires. On pourra donc ainsi reconnaître si une équation du quatrième degré, lors même qu’elle a tous ses termes, à ses racines ou toutes réelles ou toutes imaginaires. Il suffira de faire disparaître son deuxième terme, de former ensuite sa réduite et de voir si cette réduite à toutes ses racines réelles.
Quand l’équation du quatrième degré à toutes ses racines réelles, la règle de Descartes donne le nombre des racines positives et celui des racines négatives.
Si l’équation à deux racines réelles et deux racines imaginaires, les deux racines réelles seront de même signe ou de signe contraire, suivant que le dernier terme sera positif ou négatif.
Si les deux racines réelles sont de même signe, elles seront positives s’il y a dans la proposée plus de variations que de permanences ; elles seront négatives s’il y a plus de permanences que de variations et, s’il y a autant de variations que de permanences, le signe de ces racines sera contraire à celui de la fonction étant le coefficient du deuxième terme dans l’équation supposée complète. La réduite en a toujours une valeur réelle positive, puisque son dernier terme
