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$n=-m,$ cette dernière équation aura ses racines égales deux à deux, mais affectées de signes contraires ; elle ne renfermera donc que les puissances paires de l’inconnue et elle pourra se résoudre à la manière des équations du troisième degré.

Il suit de là que, en supposant, pour plus de simplicité, $m=1$ et en représentant par $4z$ la fonction $(a+b-c-d)^{2},$ $z$ sera donné par une équation du troisième degré ; or, on a

$(a+b-c-d)^{2}=-4p+4(ab+cd)\,;$

l’équation en $z$ sera donc

$\left[z+p-(ab+cd)\right]\left[z+p-(ad+bc)\right]\left[z+p-(ac+bd)\right]=0,$

d’où l’on tire

$z^{3}+2pz^{2}+\left(p^{2}-4r\right)z-q^{2}=0.$

Telle est la réduite des équations du quatrième degré. Soient $z,z',z''$ ses trois racines, on aura

${\begin{aligned}a+b-c-d=&2{\sqrt {z}},\\a+c-b-d=&2{\sqrt {z'}},\\a+d-b-c=&2{\sqrt {z''}}.\end{aligned}}$

En combinant ces trois équations avec celle-ci, $a+b+c+d=0,$ qui résulte de ce que le deuxième terme manque dans l’équation proposée du quatrième degré, on aura

${\begin{aligned}a=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z}}+{\sqrt {z'}}+{\sqrt {z''}}\right),\\b=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z}}-{\sqrt {z'}}-{\sqrt {z''}}\right),\\c=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z'}}-{\sqrt {z}}-{\sqrt {z''}}\right),\\d=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z''}}-{\sqrt {z}}-{\sqrt {z'}}\right).\end{aligned}}$

Chacun des radicaux ${\sqrt {z}},{\sqrt {z'}},{\sqrt {z''}}$ pouvant être également affecté du signe $+$ ou du signe $-,$ il en résulte huit valeurs différentes pour les