Si et sont réels, il n’y a que la première racine de réelle ; on reconnaîtra donc si une équation du troisième degré à toutes ses racines réelles par le signe de la quantité si cette quantité est négative, les trois racines sont réelles ; si elle est positive, deux des racines sont imaginaires. À la vérité, l’équation que nous venons de considérer manque de son second terme ; mais il est toujours facile, comme on l’a vu, de réduire une équation à cette forme, et cela ne change point le nombre de ses racines réelles. Les valeurs de et de la transformée sont alors des coefficients de la proposée, faciles à déterminer, et en les substituant dans la quantité le signe de cette fonction déterminera si toutes les racines sont réelles, ou si deux sont imaginaires. Quand toutes les racines sont réelles, la règle de Descartes fait connaître le nombre des racines positives et celui des racines négatives. Si deux racines sont imaginaires, la racine réelle est d’un signe contraire à celui du dernier terme de l’équation.
Considérons maintenant l’équation du quatrième degré
Soient ses quatre racines. Pour les déterminer, nous allons chercher, comme nous venons de le faire relativement aux équations du deuxième et du troisième degré, une fonction de ces racines qui les donne facilement et qui ne dépende que d’une équation d’un degré inférieur au quatrième. Nous emploierons encore la supposition qui nous a réussi pour les équations des degrés inférieurs, savoir que cette fonction renferme les racines sous une forme linéaire ; nous la représenterons ainsi par la suivante Cette fonction est susceptible de vingt-quatre combinaisons différentes ; elle dépend donc d’une équation du vingt-quatrième degré. Mais il est facile de voir que, si l’on suppose les vingt-quatre combinaisons se réduiront à douze et que, si l’on suppose de plus les douze combinaisons se réduiront à six, en sorte que la fonction ne dépend que d’une équation du sixième degré. Enfin, si l’on suppose
