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choisir que les trois qui, substituées pour $a,b,c,$ satisfont à l’équation

$ab+ac+bc=p\,;$

cette équation donne $zz'=-3\alpha p\,;$ ainsi, en désignant par $3h$ et $3h'$ les valeurs de $z$ et $z',$ lorsqu’on prend l’unité pour racine cubique de l’unité, il suffit de supposer $z=3h$ et $z'=3\alpha h',$ et alors on a

$a=h+h',\qquad b=\alpha 'h+\alpha h',\qquad c=\alpha h+\alpha 'h'.$

Ces expressions des racines du troisième degré offrent une singularité remarquable qui embarrassa beaucoup les premiers analystes. Lorsque ${\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}$ est négatif, les valeurs de $h$ et $h'$ sont imaginaires. Il ne faut pas cependant en conclure que la proposée renferme alors des racines imaginaires. Loin que cette conséquence soit juste, il est généralement vrai que, dans ce cas, les trois racines de la proposée sont réelles et qu’elles ne peuvent l’être que dans ce cas, qui a été nommé cas irréductible, tous les efforts que l’on a faits pour donner une autre forme aux expressions des racines ayant été inutiles. On ne tarda pas à reconnaître la réalité des racines dans ce cas singulier. Parmi les moyens imaginés pour s’en assurer, voici le plus simple :

Faisons, pour plus de simplicité.

$-{\frac {1}{2}}q=m\quad {\text{et}}\quad {\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}=n{\sqrt {-1}}\,;$

on aura

$h={\sqrt[{3}]{m+n{\sqrt {-1}}}},\qquad h'={\sqrt[{3}]{m-n{\sqrt {-1}}}}.$

Si l’on développe chacun de ces radicaux en séries ordonnées par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de $n,$ suivant que $n$ est plus petit ou plus grand que $m,$ on aura, pour $h$ et $h',$ des expressions de cette forme

$h=\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}},\qquad h'=\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}},$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des quantités réelles ; on aura ainsi

$a=2\mathrm {M} ,\qquad b=-\mathrm {M+N} {\sqrt {3}},\qquad c=-\mathrm {M-N} {\sqrt {3}}.$