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dans laquelle le coefficient de $z^{3}$ et le terme indépendant de $z$ seront des fonctions invariables des racines $a,b,c,$ puisque les six valeurs de la fonction $a+\alpha b+\alpha 'c$ y entrent de la même manière. C’est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori ; car, si l’on considère que par la nature des racines cubiques de l’unité on a

$1+\alpha +\alpha '=0,$

on parvient à la réduite

$x^{6}+27qz^{3}-27p^{3}=0.$

Les racines de cette équation sont

${\begin{aligned}&3{\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}&3{\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}q-{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

en nommant donc $z$ et $z'$ ces racines, on aura

${\begin{aligned}a+\alpha b+\alpha 'c=&z,\\\alpha a+\ \ b+\alpha 'c=&z'.\end{aligned}}$

La condition que le second terme de la proposée est nul donne

$a+b+c=0\,;$

on aura ainsi

$a={\frac {z+\alpha 'z'}{3}},\qquad b={\frac {\alpha 'z+z'}{3}},\qquad c={\frac {\alpha (z+z')}{3}}\,;$

$z$ et $z'$ étant des racines cubiques, ils sont susceptibles chacun de trois valeurs qui donnent neuf valeurs différentes pour les racines $a,b,c.$ Cette multiplicité de valeurs tient à ce que $z$ et $z'$ ne contiennent que le cube de $p,$ en sorte que les valeurs précédentes de $a,b,c$ résolvent, outre la proposée, les deux équations

$x^{3}+\alpha px+q=0,\qquad x^{3}+\alpha 'px+q=0\,;$

elles sont donc les racines de l’équation du neuvième degré, résultante du produit de ces trois équations. Mais, parmi ces racines, il ne faut