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Nommons $a$ et $b$ ses deux racines. Leur somme $a+b$ est, comme on l’a vu, égale à $-p\,;$ il ne s’agit donc plus que d’avoir la valeur d’une autre fonction des racines qui, combinée avec l’égalité précédente, détermine chacune de ces racines, en ne résolvant que des équations du premier degré. Pour cela, il faut que la fonction cherchée soit de la forme $la+mb\,;$ les fonctions de cette forme, dans lesquelles les quantités ne sont élevées qu’à la première puissance et ne sont point multipliées les unes par les autres, se nomment fonctions linéaires. La précédente est susceptible de deux combinaisons, en y changeant $a$ en $b,$ et réciproquement ; elle dépend donc d’une équation du deuxième degré, excepté dans le cas où $l=m\,;$ mais alors cette fonction ne donne que la somme des racines qui est déjà connue. Puisque nous sommes forcés, pour déterminer la fonction $la+mb$ dont nous avons besoin, de résoudre une équation du deuxième degré, il faut que cette équation puisse se résoudre par une simple extraction de racines, et qu’ainsi elle ne renferme que le carré de l’inconnue. Dans ce cas, ses deux racines sont égales mais de signes contraires ; il faut donc déterminer les deux coefficients $l$ et $m,$ de manière que la fonction $la+mb$ ne change point de valeur et prenne un signe contraire, en y changeant $a$ en $b$ et réciproquement, ce qui donne

$la+mb=-lb-ma$

ou

$l=-m,$

et si l’on suppose, pour simplifier, $l=1,$ la fonction cherchée sera $a-b\,;$ en la désignant par $z,$ la valeur de $z$ sera donnée par l’équation

$\left[z-(a-b)\right]\left[z-(b-a)\right]=0$

ou

$z^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.$

Or, on a

$a^{2}+b^{2}=p^{2}-2q,\qquad ab=q\,;$

donc

$z^{2}=p^{2}-4q\,$

d’où l’on tire $z$ ou $a-b$ égal à ${\sqrt {p^{2}-4q}}.$ En combinant cette égalité