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Il est visible que ces dernières racines étant données au moyen des racines de la réduite, elles en sont des fonctions, et qu’ainsi les racines de la réduite sont elles-mêmes fonctions des racines de la proposée. Toutes les méthodes de résoudre une équation se réduisent donc à déterminer une fonction de ses racines qui dépende d’une équation d’un degré inférieur et qui soit telle qu’elle donne facilement les racines de la proposée. En considérant sous ce point de vue les diverses solutions des équations du troisième et du quatrième degré, il en résulte une méthode de les résoudre puisée dans la nature même de ces équations, et qui a l’avantage d’éclairer ces solutions, d’en montrer les rapports et de faire voir comment, par des procédés très différents, elles conduisent cependant à des résultats identiques ; ainsi, quoique cette méthode soit un peu plus longue que les méthodes indirectes, je la crois préférable dans un cours destiné à développer les vrais principes des sciences. Je dois observer ici que cette méthode de résoudre les équations du troisième et du quatrième degré et le rapprochement des méthodes connues pour le même objet ont été donnés de la manière la plus générale et la plus lumineuse par M. Lagrange, dans deux Mémoires insérés parmi ceux de l’Académie des Sciences de Berlin, pour les années 1770 et 1771 ; je vous engage pareillement avoir, sur cette matière, un excellent Mémoire de Vandermonde, imprimé dans le Volume de l’Académie des Sciences pour l’année 1771^[1], et l’Ouvrage de Waring, intitulé Meditationes algebraicœ.

Pour exposer d’une manière uniforme ce que l’on sait sur la résolution des équations, nous allons reprendre celle de l’équation du deuxième degré,

$x^{2}+px+q=0.$

1. Dans ce Mémoire, Vandermonde donne l’expression de la racine d’une équation du cinquième degré dont dépend la résolution de l’équation
   $x^{11}-1=0,$

   et l’on peut dire qu’il est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée. Malheureusement ce résultat important fut longtemps ignoré.

   Consulter Œuvres de Lagrange, t. VIII, p. 355-360.