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auxquelles on parvient par les méthodes arithmétiques de l’extraction des racines, l’expression précédente de $x\,;$ n’a que deux valeurs, et cependant l’équation proposée étant du degré $2n,$ elle doit avoir $2n$ racines. Pour les déterminer, nommons $h$ et $h'$ les deux racines précédentes, déterminées par les méthodes arithmétiques ; nommons ensuite $1,\alpha ,\alpha ',\ldots$ les $n$ racines de l’équation $x^{n}-1=0,$ racines qui sont les diverses racines $n$^ièmes de l’unité ; alors les $2n$ racines de l’équation primitive seront $h,\alpha h,\alpha 'h,\ldots ,$$h',\alpha h',$$\alpha 'h',\ldots .$ Tout se réduit donc à déterminer les racines de l’équation $x^{n}-1=0.$

Si $n=2,$ ces racines sont $\pm 1.$

Si $n=3,$ l’une des racines est l’unité. En divisant ensuite l’équation $x^{3}-1=0$ par $x-1,$ on a

$x^{2}+x+1=0,$

d’où l’on tire

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.$

Si $n=4,$ les quatre racines sont $\pm 1,\ \pm {\sqrt {-1}}.$

On peut déterminer algébriquement ces diverses racines, lorsque $n$ ne surpasse pas $10$^[1]. En traitant de l’application de l’Algèbre à la Géométrie nous donnerons le moyen d’obtenir toutes les racines de l’équation $x^{n}\pm 1=0,$ quelle que soit $n.$ Nous observerons seulement ici que $1$ et $\alpha$ étant deux racines de l’équation $x^{n}-1=0,$ les $n-2$ autres racines sont $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{n-1},$ si $n$ est un nombre premier.

Considérons présentement les équations du troisième et du quatrième degré. Depuis longtemps les analystes ont résolu ces équations par diverses méthodes ingénieuses ; elles consistent à transformer, par des substitutions convenables, l’équation que l’on veut résoudre, dans une autre qui puisse être résolue à la manière des équations d’un degré inférieur, et à déterminer, au moyen des racines de cette nouvelle équation que l’on nomme réduite, toutes les racines de la proposée.

1. Depuis l’époque de la première publication de ces Leçons, M. Gauss est parvenu, par une analyse extrêmement remarquable, à déterminer algébriquement ces racines pour un degré quelconque. {Note de l’Auteur.)