des racines réelles négatives. Je citerai, entre autres, Dionis-Duséjour, que la mort vient d’enlever aux sciences et, en particulier, à l’Astronomie qu’il a considérablement enrichie par des applications nombreuses et importantes de l’Analyse aux divers problèmes astronomiques. Ce savant, illustre et regrettable sous tous les rapports, a laissé en manuscrit un beau Mémoire, dans lequel il étend aux équations du cinquième degré ses recherches publiées dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1772.
On peut toujours déterminer si toutes les racines d’une équation sont réelles, en formant l’équation dont les racines soient les carrés des différences des racines de la proposée ; car il est visible que toutes les racines de cette nouvelle équation seront réelles et positives si toutes les racines de la proposée sont réelles ; l’équation du carré des différences des racines aura donc alors tous ses termes alternativement positifs et négatifs. Réciproquement, si cela a lieu, la proposée n’a aucune racine imaginaire, car les deux racines imaginaires, et donneraient la racine négative dans l’équation du carré des différences des racines ; mais, par le théorème exposé ci-dessus, cette équation ne peut pas avoir des racines négatives si ses termes sont alternativement positifs et négatifs ; toutes les racines de la proposée sont donc alors réelles.
On peut faire subir aux équations diverses transformations utiles ; si l’on veut, par exemple, changer les racines positives en négatives, et réciproquement, il suffit de changer les signes des termes dans lesquels l’inconnue est élevée à une puissance impaire. On peut augmenter ou diminuer, à volonté, les racines d’une équation, d’une quantité quelconque, et faire ainsi disparaître un de ses termes, étant l’inconnue, le degré de l’équation et le coefficient du second terme ; si l’on suppose on aura une nouvelle équation en du degré dans laquelle le coefficient de sera nul, et dont la forme sera, par cette raison, un peu plus simple que celle de la proposée.
